Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72285 / 77318
↖ ↑ ↗
← S 30.765439°
E 18.536682°		 ← 262.39 m → S 30.765439°
E 18.539429°		 →
↑
262.42 m
↓
↑
262.42 m
↓
S 30.767799°
E 18.536682°		 ← 262.38 m →
68 855 m²		 S 30.767799°
E 18.539429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551494598388672 y=0.589893341064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551494598388672 × 217)
    floor (0.551494598388672 × 131072)
    floor (72285.5)     		tx = 72285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589893341064453 × 217)
    floor (0.589893341064453 × 131072)
    floor (77318.5)     		ty = 77318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72285 / 77318 ti = "17/72285/77318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72285/77318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72285 ÷ 217
    72285 ÷ 131072     		x = 0.551490783691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77318 ÷ 217
    77318 ÷ 131072     		y = 0.589889526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551490783691406 × 2 - 1) × π
    0.102981567382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.32352614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589889526367188 × 2 - 1) × π
    -0.179779052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.564792551323502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32352614} λ = 0.32352614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564792551323502))-π/2
    2×atan(0.568478064548282)-π/2
    2×0.516919059100716-π/2
    1.03383811820143-1.57079632675     		φ = -0.53695821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32352614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.536682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53695821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.765439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72285 KachelY 77318 0.32352614 -0.53695821 18.536682 -30.765439
    Oben rechts KachelX + 1 72286 KachelY 77318 0.32357407 -0.53695821 18.539429 -30.765439
    Unten links KachelX 72285 KachelY + 1 77319 0.32352614 -0.53699940 18.536682 -30.767799
    Unten rechts KachelX + 1 72286 KachelY + 1 77319 0.32357407 -0.53699940 18.539429 -30.767799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53695821--0.53699940) × R
    4.11900000000243e-05 × 6371000     		dl = 262.421490000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53695821--0.53699940) × R
    4.11900000000243e-05 × 6371000     		dr = 262.421490000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32352614-0.32357407) × cos(-0.53695821) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.859268604704328 × 6371000     		do = 262.388005447638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32352614-0.32357407) × cos(-0.53699940) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.85924753427518 × 6371000     		du = 262.38157133862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53695821)-sin(-0.53699940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859268604704328-0.85924753427518)×R²
    abs(0.32357407-0.32352614)×2.10704291477848e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.10704291477848e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.10704291477848e-05×40589641000000     		ar = 68855.407133424m²