Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72284 / 77308
↖ ↑ ↗
← S 30.741836°
E 18.533936°		 ← 262.51 m → S 30.741836°
E 18.536682°		 →
↑
262.49 m
↓
↑
262.49 m
↓
S 30.744196°
E 18.533936°		 ← 262.50 m →
68 903 m²		 S 30.744196°
E 18.536682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551486968994141 y=0.589817047119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551486968994141 × 217)
    floor (0.551486968994141 × 131072)
    floor (72284.5)     		tx = 72284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589817047119141 × 217)
    floor (0.589817047119141 × 131072)
    floor (77308.5)     		ty = 77308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72284 / 77308 ti = "17/72284/77308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72284/77308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72284 ÷ 217
    72284 ÷ 131072     		x = 0.551483154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77308 ÷ 217
    77308 ÷ 131072     		y = 0.589813232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551483154296875 × 2 - 1) × π
    0.10296630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32347820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589813232421875 × 2 - 1) × π
    -0.17962646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.564313182327301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32347820} λ = 0.32347820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564313182327301))-π/2
    2×atan(0.568750640634489)-π/2
    2×0.517125037712194-π/2
    1.03425007542439-1.57079632675     		φ = -0.53654625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32347820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.533936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53654625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.741836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72284 KachelY 77308 0.32347820 -0.53654625 18.533936 -30.741836
    Oben rechts KachelX + 1 72285 KachelY 77308 0.32352614 -0.53654625 18.536682 -30.741836
    Unten links KachelX 72284 KachelY + 1 77309 0.32347820 -0.53658745 18.533936 -30.744196
    Unten rechts KachelX + 1 72285 KachelY + 1 77309 0.32352614 -0.53658745 18.536682 -30.744196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53654625--0.53658745) × R
    4.11999999999635e-05 × 6371000     		dl = 262.485199999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53654625--0.53658745) × R
    4.11999999999635e-05 × 6371000     		dr = 262.485199999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32347820-0.32352614) × cos(-0.53654625) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859479259478455 × 6371000     		do = 262.507088840991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32347820-0.32352614) × cos(-0.53658745) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859458198519469 × 6371000     		du = 262.500656282008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53654625)-sin(-0.53658745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859479259478455-0.859458198519469)×R²
    abs(0.32352614-0.32347820)×2.10609589862409e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10609589862409e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10609589862409e-05×40589641000000     		ar = 68903.381499827m²