Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72282 / 77302
↖ ↑ ↗
← S 30.727671°
E 18.528442°		 ← 262.55 m → S 30.727671°
E 18.531189°		 →
↑
262.49 m
↓
↑
262.49 m
↓
S 30.730032°
E 18.528442°		 ← 262.54 m →
68 914 m²		 S 30.730032°
E 18.531189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551471710205078 y=0.589771270751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551471710205078 × 217)
    floor (0.551471710205078 × 131072)
    floor (72282.5)     		tx = 72282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589771270751953 × 217)
    floor (0.589771270751953 × 131072)
    floor (77302.5)     		ty = 77302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72282 / 77302 ti = "17/72282/77302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72282/77302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72282 ÷ 217
    72282 ÷ 131072     		x = 0.551467895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77302 ÷ 217
    77302 ÷ 131072     		y = 0.589767456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551467895507812 × 2 - 1) × π
    0.102935791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32338232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589767456054688 × 2 - 1) × π
    -0.179534912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.564025560929581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32338232} λ = 0.32338232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564025560929581))-π/2
    2×atan(0.56891424901621)-π/2
    2×0.51724864911047-π/2
    1.03449729822094-1.57079632675     		φ = -0.53629903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32338232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.528442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53629903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.727671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72282 KachelY 77302 0.32338232 -0.53629903 18.528442 -30.727671
    Oben rechts KachelX + 1 72283 KachelY 77302 0.32343026 -0.53629903 18.531189 -30.727671
    Unten links KachelX 72282 KachelY + 1 77303 0.32338232 -0.53634023 18.528442 -30.730032
    Unten rechts KachelX + 1 72283 KachelY + 1 77303 0.32343026 -0.53634023 18.531189 -30.730032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53629903--0.53634023) × R
    4.11999999999635e-05 × 6371000     		dl = 262.485199999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53629903--0.53634023) × R
    4.11999999999635e-05 × 6371000     		dr = 262.485199999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32338232-0.32343026) × cos(-0.53629903) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.85960560481308 × 6371000     		do = 262.545677958314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32338232-0.32343026) × cos(-0.53634023) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859584552608825 × 6371000     		du = 262.539248073251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53629903)-sin(-0.53634023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85960560481308-0.859584552608825)×R²
    abs(0.32343026-0.32338232)×2.10522042549677e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10522042549677e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10522042549677e-05×40589641000000     		ar = 68913.5109230014m²