Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72280 / 77303
↖ ↑ ↗
← S 30.730032°
E 18.522949°		 ← 262.54 m → S 30.730032°
E 18.525696°		 →
↑
262.55 m
↓
↑
262.55 m
↓
S 30.732393°
E 18.522949°		 ← 262.53 m →
68 929 m²		 S 30.732393°
E 18.525696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551456451416016 y=0.589778900146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551456451416016 × 217)
    floor (0.551456451416016 × 131072)
    floor (72280.5)     		tx = 72280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589778900146484 × 217)
    floor (0.589778900146484 × 131072)
    floor (77303.5)     		ty = 77303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72280 / 77303 ti = "17/72280/77303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72280/77303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72280 ÷ 217
    72280 ÷ 131072     		x = 0.55145263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77303 ÷ 217
    77303 ÷ 131072     		y = 0.589775085449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55145263671875 × 2 - 1) × π
    0.1029052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32328645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589775085449219 × 2 - 1) × π
    -0.179550170898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.564073497829201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32328645} λ = 0.32328645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564073497829201))-π/2
    2×atan(0.56888697768462)-π/2
    2×0.517228045948988-π/2
    1.03445609189798-1.57079632675     		φ = -0.53634023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32328645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.522949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53634023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.730032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72280 KachelY 77303 0.32328645 -0.53634023 18.522949 -30.730032
    Oben rechts KachelX + 1 72281 KachelY 77303 0.32333439 -0.53634023 18.525696 -30.730032
    Unten links KachelX 72280 KachelY + 1 77304 0.32328645 -0.53638144 18.522949 -30.732393
    Unten rechts KachelX + 1 72281 KachelY + 1 77304 0.32333439 -0.53638144 18.525696 -30.732393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53634023--0.53638144) × R
    4.12100000000137e-05 × 6371000     		dl = 262.548910000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53634023--0.53638144) × R
    4.12100000000137e-05 × 6371000     		dr = 262.548910000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32328645-0.32333439) × cos(-0.53634023) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859584552608825 × 6371000     		do = 262.539248073251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32328645-0.32333439) × cos(-0.53638144) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859563493835188 × 6371000     		du = 262.532816181729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53634023)-sin(-0.53638144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859584552608825-0.859563493835188)×R²
    abs(0.32333439-0.32328645)×2.10587736376722e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10587736376722e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10587736376722e-05×40589641000000     		ar = 68928.5490805095m²