Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7228 / 8635
↖ ↑ ↗
← N 78.704487°
W140.295410°		 ← 119.63 m → N 78.704487°
W140.289917°		 →
↑
119.65 m
↓
↑
119.65 m
↓
N 78.703411°
W140.295410°		 ← 119.65 m →
14 315 m²		 N 78.703411°
W140.289917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.110298156738281 y=0.131767272949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.110298156738281 × 216)
    floor (0.110298156738281 × 65536)
    floor (7228.5)     		tx = 7228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131767272949219 × 216)
    floor (0.131767272949219 × 65536)
    floor (8635.5)     		ty = 8635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7228 / 8635 ti = "16/7228/8635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7228/8635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7228 ÷ 216
    7228 ÷ 65536     		x = 0.11029052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8635 ÷ 216
    8635 ÷ 65536     		y = 0.131759643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11029052734375 × 2 - 1) × π
    -0.7794189453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.44861683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131759643554688 × 2 - 1) × π
    0.736480712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31372239706163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.44861683} λ = -2.44861683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31372239706163))-π/2
    2×atan(10.1119955472539)-π/2
    2×1.472224379662-π/2
    2.944448759324-1.57079632675     		φ = 1.37365243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.44861683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.295410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37365243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.704487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7228 KachelY 8635 -2.44861683 1.37365243 -140.295410 78.704487
    Oben rechts KachelX + 1 7229 KachelY 8635 -2.44852096 1.37365243 -140.289917 78.704487
    Unten links KachelX 7228 KachelY + 1 8636 -2.44861683 1.37363365 -140.295410 78.703411
    Unten rechts KachelX + 1 7229 KachelY + 1 8636 -2.44852096 1.37363365 -140.289917 78.703411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37365243-1.37363365) × R
    1.8779999999996e-05 × 6371000     		dl = 119.647379999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37365243-1.37363365) × R
    1.8779999999996e-05 × 6371000     		dr = 119.647379999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.44861683--2.44852096) × cos(1.37365243) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195869353001848 × 6371000     		do = 119.634605331339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.44861683--2.44852096) × cos(1.37363365) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.195887769198703 × 6371000     		du = 119.645853719148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37365243)-sin(1.37363365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195869353001848-0.195887769198703)×R²
    abs(-2.44852096--2.44861683)×1.84161968551644e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.84161968551644e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.84161968551644e-05×40589641000000     		ar = 14314.6400056496m²