Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72276 / 77284
↖ ↑ ↗
← S 30.685164°
E 18.511963°		 ← 262.66 m → S 30.685164°
E 18.514709°		 →
↑
262.68 m
↓
↑
262.68 m
↓
S 30.687526°
E 18.511963°		 ← 262.65 m →
68 994 m²		 S 30.687526°
E 18.514709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551425933837891 y=0.589633941650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551425933837891 × 217)
    floor (0.551425933837891 × 131072)
    floor (72276.5)     		tx = 72276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589633941650391 × 217)
    floor (0.589633941650391 × 131072)
    floor (77284.5)     		ty = 77284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72276 / 77284 ti = "17/72276/77284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72276/77284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72276 ÷ 217
    72276 ÷ 131072     		x = 0.551422119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77284 ÷ 217
    77284 ÷ 131072     		y = 0.589630126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551422119140625 × 2 - 1) × π
    0.10284423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32309470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589630126953125 × 2 - 1) × π
    -0.17926025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.56316269673642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32309470} λ = 0.32309470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.56316269673642))-π/2
    2×atan(0.569405356599769)-π/2
    2×0.517619592291176-π/2
    1.03523918458235-1.57079632675     		φ = -0.53555714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32309470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.511963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53555714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.685164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72276 KachelY 77284 0.32309470 -0.53555714 18.511963 -30.685164
    Oben rechts KachelX + 1 72277 KachelY 77284 0.32314264 -0.53555714 18.514709 -30.685164
    Unten links KachelX 72276 KachelY + 1 77285 0.32309470 -0.53559837 18.511963 -30.687526
    Unten rechts KachelX + 1 72277 KachelY + 1 77285 0.32314264 -0.53559837 18.514709 -30.687526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53555714--0.53559837) × R
    4.12300000000032e-05 × 6371000     		dl = 262.67633000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53555714--0.53559837) × R
    4.12300000000032e-05 × 6371000     		dr = 262.67633000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32309470-0.32314264) × cos(-0.53555714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.859984442936914 × 6371000     		do = 262.661384872322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32309470-0.32314264) × cos(-0.53559837) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.859963401702049 × 6371000     		du = 262.654958337593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53555714)-sin(-0.53559837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859984442936914-0.859963401702049)×R²
    abs(0.32314264-0.32309470)×2.10412348647937e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10412348647937e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10412348647937e-05×40589641000000     		ar = 68994.0845715668m²