Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72275 / 94641
↖ ↑ ↗
← S 62.166784°
E 18.509217°		 ← 142.57 m → S 62.166784°
E 18.511963°		 →
↑
142.58 m
↓
↑
142.58 m
↓
S 62.168067°
E 18.509217°		 ← 142.57 m →
20 328 m²		 S 62.168067°
E 18.511963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551418304443359 y=0.722057342529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551418304443359 × 217)
    floor (0.551418304443359 × 131072)
    floor (72275.5)     		tx = 72275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722057342529297 × 217)
    floor (0.722057342529297 × 131072)
    floor (94641.5)     		ty = 94641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72275 / 94641 ti = "17/72275/94641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72275/94641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72275 ÷ 217
    72275 ÷ 131072     		x = 0.551414489746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94641 ÷ 217
    94641 ÷ 131072     		y = 0.722053527832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551414489746094 × 2 - 1) × π
    0.102828979492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.32304677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722053527832031 × 2 - 1) × π
    -0.444107055664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.39520346344173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32304677} λ = 0.32304677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39520346344173))-π/2
    2×atan(0.247782616534144)-π/2
    2×0.242890627609504-π/2
    0.485781255219008-1.57079632675     		φ = -1.08501507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32304677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.509217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08501507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.166784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72275 KachelY 94641 0.32304677 -1.08501507 18.509217 -62.166784
    Oben rechts KachelX + 1 72276 KachelY 94641 0.32309470 -1.08501507 18.511963 -62.166784
    Unten links KachelX 72275 KachelY + 1 94642 0.32304677 -1.08503745 18.509217 -62.168067
    Unten rechts KachelX + 1 72276 KachelY + 1 94642 0.32309470 -1.08503745 18.511963 -62.168067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08501507--1.08503745) × R
    2.23799999998775e-05 × 6371000     		dl = 142.58297999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08501507--1.08503745) × R
    2.23799999998775e-05 × 6371000     		dr = 142.58297999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32304677-0.32309470) × cos(-1.08501507) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.466899375415661 × 6371000     		do = 142.573341082746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32304677-0.32309470) × cos(-1.08503745) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.466879584430849 × 6371000     		du = 142.567297667448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08501507)-sin(-1.08503745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466899375415661-0.466879584430849)×R²
    abs(0.32309470-0.32304677)×1.97909848117517e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.97909848117517e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.97909848117517e-05×40589641000000     		ar = 20328.1009968786m²