Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72275 / 77285
↖ ↑ ↗
← S 30.687526°
E 18.509217°		 ← 262.60 m → S 30.687526°
E 18.511963°		 →
↑
262.61 m
↓
↑
262.61 m
↓
S 30.689888°
E 18.509217°		 ← 262.59 m →
68 961 m²		 S 30.689888°
E 18.511963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551418304443359 y=0.589641571044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551418304443359 × 217)
    floor (0.551418304443359 × 131072)
    floor (72275.5)     		tx = 72275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589641571044922 × 217)
    floor (0.589641571044922 × 131072)
    floor (77285.5)     		ty = 77285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72275 / 77285 ti = "17/72275/77285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72275/77285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72275 ÷ 217
    72275 ÷ 131072     		x = 0.551414489746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77285 ÷ 217
    77285 ÷ 131072     		y = 0.589637756347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551414489746094 × 2 - 1) × π
    0.102828979492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.32304677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589637756347656 × 2 - 1) × π
    -0.179275512695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.56321063363604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32304677} λ = 0.32304677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.56321063363604))-π/2
    2×atan(0.569378061726568)-π/2
    2×0.517598980049372-π/2
    1.03519796009874-1.57079632675     		φ = -0.53559837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32304677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.509217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53559837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.687526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72275 KachelY 77285 0.32304677 -0.53559837 18.509217 -30.687526
    Oben rechts KachelX + 1 72276 KachelY 77285 0.32309470 -0.53559837 18.511963 -30.687526
    Unten links KachelX 72275 KachelY + 1 77286 0.32304677 -0.53563959 18.509217 -30.689888
    Unten rechts KachelX + 1 72276 KachelY + 1 77286 0.32309470 -0.53563959 18.511963 -30.689888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53559837--0.53563959) × R
    4.1220000000064e-05 × 6371000     		dl = 262.612620000408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53559837--0.53563959) × R
    4.1220000000064e-05 × 6371000     		dr = 262.612620000408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32304677-0.32309470) × cos(-0.53559837) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.859963401702049 × 6371000     		do = 262.600170069604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32304677-0.32309470) × cos(-0.53563959) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.859942364109233 × 6371000     		du = 262.593745987555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53559837)-sin(-0.53563959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859963401702049-0.859942364109233)×R²
    abs(0.32309470-0.32304677)×2.10375928162421e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.10375928162421e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.10375928162421e-05×40589641000000     		ar = 68961.2751617759m²