Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72270 / 77297
↖ ↑ ↗
← S 30.715865°
E 18.495483°		 ← 262.58 m → S 30.715865°
E 18.498230°		 →
↑
262.55 m
↓
↑
262.55 m
↓
S 30.718226°
E 18.495483°		 ← 262.57 m →
68 939 m²		 S 30.718226°
E 18.498230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551380157470703 y=0.589733123779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551380157470703 × 217)
    floor (0.551380157470703 × 131072)
    floor (72270.5)     		tx = 72270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589733123779297 × 217)
    floor (0.589733123779297 × 131072)
    floor (77297.5)     		ty = 77297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72270 / 77297 ti = "17/72270/77297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72270/77297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72270 ÷ 217
    72270 ÷ 131072     		x = 0.551376342773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77297 ÷ 217
    77297 ÷ 131072     		y = 0.589729309082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551376342773438 × 2 - 1) × π
    0.102752685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32280708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589729309082031 × 2 - 1) × π
    -0.179458618164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.56378587643148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32280708} λ = 0.32280708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.56378587643148))-π/2
    2×atan(0.569050625285434)-π/2
    2×0.517351672487248-π/2
    1.0347033449745-1.57079632675     		φ = -0.53609298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32280708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.495483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53609298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.715865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72270 KachelY 77297 0.32280708 -0.53609298 18.495483 -30.715865
    Oben rechts KachelX + 1 72271 KachelY 77297 0.32285502 -0.53609298 18.498230 -30.715865
    Unten links KachelX 72270 KachelY + 1 77298 0.32280708 -0.53613419 18.495483 -30.718226
    Unten rechts KachelX + 1 72271 KachelY + 1 77298 0.32285502 -0.53613419 18.498230 -30.718226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53609298--0.53613419) × R
    4.12099999999027e-05 × 6371000     		dl = 262.54890999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53609298--0.53613419) × R
    4.12099999999027e-05 × 6371000     		dr = 262.54890999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32280708-0.32285502) × cos(-0.53609298) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.859710869485757 × 6371000     		do = 262.577828498559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32280708-0.32285502) × cos(-0.53613419) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.859689819471111 × 6371000     		du = 262.571399282258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53609298)-sin(-0.53613419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859710869485757-0.859689819471111)×R²
    abs(0.32285502-0.32280708)×2.10500146460291e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10500146460291e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10500146460291e-05×40589641000000     		ar = 68938.6786803205m²