Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7227 / 5190
↖ ↑ ↗
← N 76.664589°
W100.601807°		 ← 281.77 m → N 76.664589°
W100.590820°		 →
↑
281.79 m
↓
↑
281.79 m
↓
N 76.662055°
W100.601807°		 ← 281.83 m →
79 408 m²		 N 76.662055°
W100.590820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220565795898438 y=0.158401489257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220565795898438 × 215)
    floor (0.220565795898438 × 32768)
    floor (7227.5)     		tx = 7227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158401489257812 × 215)
    floor (0.158401489257812 × 32768)
    floor (5190.5)     		ty = 5190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7227 / 5190 ti = "15/7227/5190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7227/5190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7227 ÷ 215
    7227 ÷ 32768     		x = 0.220550537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5190 ÷ 215
    5190 ÷ 32768     		y = 0.15838623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220550537109375 × 2 - 1) × π
    -0.55889892578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75583276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15838623046875 × 2 - 1) × π
    0.6832275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14642261738763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75583276} λ = -1.75583276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14642261738763))-π/2
    2×atan(8.55420194164794)-π/2
    2×1.45442291535799-π/2
    2.90884583071599-1.57079632675     		φ = 1.33804950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75583276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.601807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33804950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.664589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7227 KachelY 5190 -1.75583276 1.33804950 -100.601807 76.664589
    Oben rechts KachelX + 1 7228 KachelY 5190 -1.75564101 1.33804950 -100.590820 76.664589
    Unten links KachelX 7227 KachelY + 1 5191 -1.75583276 1.33800527 -100.601807 76.662055
    Unten rechts KachelX + 1 7228 KachelY + 1 5191 -1.75564101 1.33800527 -100.590820 76.662055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33804950-1.33800527) × R
    4.42299999998674e-05 × 6371000     		dl = 281.789329999155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33804950-1.33800527) × R
    4.42299999998674e-05 × 6371000     		dr = 281.789329999155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75583276--1.75564101) × cos(1.33804950) × R
    0.000191750000000157 × 0.230651153063866 × 6371000     		do = 281.772501640807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75583276--1.75564101) × cos(1.33800527) × R
    0.000191750000000157 × 0.230694190242983 × 6371000     		du = 281.825077548026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33804950)-sin(1.33800527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230651153063866-0.230694190242983)×R²
    abs(-1.75564101--1.75583276)×4.30371791170225e-05×R²
    0.000191750000000157×4.30371791170225e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.30371791170225e-05×40589641000000     		ar = 79407.8921269054m²