Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72267 / 77315
↖ ↑ ↗
← S 30.758359°
E 18.487244°		 ← 262.46 m → S 30.758359°
E 18.489990°		 →
↑
262.49 m
↓
↑
262.49 m
↓
S 30.760719°
E 18.487244°		 ← 262.46 m →
68 892 m²		 S 30.760719°
E 18.489990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551357269287109 y=0.589870452880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551357269287109 × 217)
    floor (0.551357269287109 × 131072)
    floor (72267.5)     		tx = 72267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589870452880859 × 217)
    floor (0.589870452880859 × 131072)
    floor (77315.5)     		ty = 77315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72267 / 77315 ti = "17/72267/77315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72267/77315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72267 ÷ 217
    72267 ÷ 131072     		x = 0.551353454589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77315 ÷ 217
    77315 ÷ 131072     		y = 0.589866638183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551353454589844 × 2 - 1) × π
    0.102706909179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.32266327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589866638183594 × 2 - 1) × π
    -0.179733276367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.564648740624641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32266327} λ = 0.32266327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564648740624641))-π/2
    2×atan(0.568559823654807)-π/2
    2×0.516980847382515-π/2
    1.03396169476503-1.57079632675     		φ = -0.53683463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32266327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.487244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53683463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.758359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72267 KachelY 77315 0.32266327 -0.53683463 18.487244 -30.758359
    Oben rechts KachelX + 1 72268 KachelY 77315 0.32271121 -0.53683463 18.489990 -30.758359
    Unten links KachelX 72267 KachelY + 1 77316 0.32266327 -0.53687583 18.487244 -30.760719
    Unten rechts KachelX + 1 72268 KachelY + 1 77316 0.32271121 -0.53687583 18.489990 -30.760719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53683463--0.53687583) × R
    4.12000000000745e-05 × 6371000     		dl = 262.485200000475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53683463--0.53687583) × R
    4.12000000000745e-05 × 6371000     		dr = 262.485200000475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32266327-0.32271121) × cos(-0.53683463) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859331812358719 × 6371000     		do = 262.462054695335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32266327-0.32271121) × cos(-0.53687583) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859310741189041 × 6371000     		du = 262.455619017743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53683463)-sin(-0.53687583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859331812358719-0.859310741189041)×R²
    abs(0.32271121-0.32266327)×2.10711696784216e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10711696784216e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10711696784216e-05×40589641000000     		ar = 68891.5602937517m²