Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72266 / 94680
↖ ↑ ↗
← S 62.216756°
E 18.484497°		 ← 142.37 m → S 62.216756°
E 18.487244°		 →
↑
142.33 m
↓
↑
142.33 m
↓
S 62.218036°
E 18.484497°		 ← 142.36 m →
20 262 m²		 S 62.218036°
E 18.487244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551349639892578 y=0.722354888916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551349639892578 × 217)
    floor (0.551349639892578 × 131072)
    floor (72266.5)     		tx = 72266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722354888916016 × 217)
    floor (0.722354888916016 × 131072)
    floor (94680.5)     		ty = 94680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72266 / 94680 ti = "17/72266/94680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72266/94680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72266 ÷ 217
    72266 ÷ 131072     		x = 0.551345825195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94680 ÷ 217
    94680 ÷ 131072     		y = 0.72235107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551345825195312 × 2 - 1) × π
    0.102691650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32261533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72235107421875 × 2 - 1) × π
    -0.4447021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39707300252692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32261533} λ = 0.32261533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39707300252692))-π/2
    2×atan(0.247319810000156)-π/2
    2×0.242454544927386-π/2
    0.484909089854771-1.57079632675     		φ = -1.08588724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32261533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.484497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08588724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.216756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72266 KachelY 94680 0.32261533 -1.08588724 18.484497 -62.216756
    Oben rechts KachelX + 1 72267 KachelY 94680 0.32266327 -1.08588724 18.487244 -62.216756
    Unten links KachelX 72266 KachelY + 1 94681 0.32261533 -1.08590958 18.484497 -62.218036
    Unten rechts KachelX + 1 72267 KachelY + 1 94681 0.32266327 -1.08590958 18.487244 -62.218036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08588724--1.08590958) × R
    2.23400000001206e-05 × 6371000     		dl = 142.328140000768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08588724--1.08590958) × R
    2.23400000001206e-05 × 6371000     		dr = 142.328140000768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32261533-0.32266327) × cos(-1.08588724) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.46612792888703 × 6371000     		do = 142.36746761506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32261533-0.32266327) × cos(-1.08590958) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.466108164185564 × 6371000     		du = 142.361430966489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08588724)-sin(-1.08590958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46612792888703-0.466108164185564)×R²
    abs(0.32266327-0.32261533)×1.97647014660296e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.97647014660296e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.97647014660296e-05×40589641000000     		ar = 20262.4672708257m²