Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72266 / 77314
↖ ↑ ↗
← S 30.755999°
E 18.484497°		 ← 262.47 m → S 30.755999°
E 18.487244°		 →
↑
262.42 m
↓
↑
262.42 m
↓
S 30.758359°
E 18.484497°		 ← 262.46 m →
68 877 m²		 S 30.758359°
E 18.487244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551349639892578 y=0.589862823486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551349639892578 × 217)
    floor (0.551349639892578 × 131072)
    floor (72266.5)     		tx = 72266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589862823486328 × 217)
    floor (0.589862823486328 × 131072)
    floor (77314.5)     		ty = 77314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72266 / 77314 ti = "17/72266/77314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72266/77314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72266 ÷ 217
    72266 ÷ 131072     		x = 0.551345825195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77314 ÷ 217
    77314 ÷ 131072     		y = 0.589859008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551345825195312 × 2 - 1) × π
    0.102691650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32261533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589859008789062 × 2 - 1) × π
    -0.179718017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.564600803725021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32261533} λ = 0.32261533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564600803725021))-π/2
    2×atan(0.568587079303272)-π/2
    2×0.517001444486376-π/2
    1.03400288897275-1.57079632675     		φ = -0.53679344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32261533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.484497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53679344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.755999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72266 KachelY 77314 0.32261533 -0.53679344 18.484497 -30.755999
    Oben rechts KachelX + 1 72267 KachelY 77314 0.32266327 -0.53679344 18.487244 -30.755999
    Unten links KachelX 72266 KachelY + 1 77315 0.32261533 -0.53683463 18.484497 -30.758359
    Unten rechts KachelX + 1 72267 KachelY + 1 77315 0.32266327 -0.53683463 18.487244 -30.758359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53679344--0.53683463) × R
    4.11900000000243e-05 × 6371000     		dl = 262.421490000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53679344--0.53683463) × R
    4.11900000000243e-05 × 6371000     		dr = 262.421490000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32261533-0.32266327) × cos(-0.53679344) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859352876955903 × 6371000     		do = 262.468488365517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32261533-0.32266327) × cos(-0.53683463) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859331812358719 × 6371000     		du = 262.462054695335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53679344)-sin(-0.53683463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859352876955903-0.859331812358719)×R²
    abs(0.32266327-0.32261533)×2.10645971835399e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10645971835399e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10645971835399e-05×40589641000000     		ar = 68876.5276382147m²