Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72265 / 77269
↖ ↑ ↗
← S 30.649727°
E 18.481751°		 ← 262.70 m → S 30.649727°
E 18.484497°		 →
↑
262.74 m
↓
↑
262.74 m
↓
S 30.652090°
E 18.481751°		 ← 262.70 m →
69 022 m²		 S 30.652090°
E 18.484497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551342010498047 y=0.589519500732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551342010498047 × 217)
    floor (0.551342010498047 × 131072)
    floor (72265.5)     		tx = 72265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589519500732422 × 217)
    floor (0.589519500732422 × 131072)
    floor (77269.5)     		ty = 77269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72265 / 77269 ti = "17/72265/77269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72265/77269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72265 ÷ 217
    72265 ÷ 131072     		x = 0.551338195800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77269 ÷ 217
    77269 ÷ 131072     		y = 0.589515686035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551338195800781 × 2 - 1) × π
    0.102676391601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.32256740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589515686035156 × 2 - 1) × π
    -0.179031372070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.562443643242119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32256740} λ = 0.32256740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.562443643242119))-π/2
    2×atan(0.569814936748477)-π/2
    2×0.517928836415147-π/2
    1.03585767283029-1.57079632675     		φ = -0.53493865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32256740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.481751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53493865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.649727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72265 KachelY 77269 0.32256740 -0.53493865 18.481751 -30.649727
    Oben rechts KachelX + 1 72266 KachelY 77269 0.32261533 -0.53493865 18.484497 -30.649727
    Unten links KachelX 72265 KachelY + 1 77270 0.32256740 -0.53497989 18.481751 -30.652090
    Unten rechts KachelX + 1 72266 KachelY + 1 77270 0.32261533 -0.53497989 18.484497 -30.652090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53493865--0.53497989) × R
    4.12400000000535e-05 × 6371000     		dl = 262.740040000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53493865--0.53497989) × R
    4.12400000000535e-05 × 6371000     		dr = 262.740040000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32256740-0.32261533) × cos(-0.53493865) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.860299906403556 × 6371000     		do = 262.702925828056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32256740-0.32261533) × cos(-0.53497989) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.860278882004106 × 6371000     		du = 262.696505774761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53493865)-sin(-0.53497989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860299906403556-0.860278882004106)×R²
    abs(0.32261533-0.32256740)×2.10243994493986e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.10243994493986e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.10243994493986e-05×40589641000000     		ar = 69021.7338477185m²