Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72264 / 77267
↖ ↑ ↗
← S 30.645001°
E 18.479004°		 ← 262.77 m → S 30.645001°
E 18.481751°		 →
↑
262.74 m
↓
↑
262.74 m
↓
S 30.647364°
E 18.479004°		 ← 262.76 m →
69 040 m²		 S 30.647364°
E 18.481751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551334381103516 y=0.589504241943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551334381103516 × 217)
    floor (0.551334381103516 × 131072)
    floor (72264.5)     		tx = 72264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589504241943359 × 217)
    floor (0.589504241943359 × 131072)
    floor (77267.5)     		ty = 77267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72264 / 77267 ti = "17/72264/77267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72264/77267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72264 ÷ 217
    72264 ÷ 131072     		x = 0.55133056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77267 ÷ 217
    77267 ÷ 131072     		y = 0.589500427246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55133056640625 × 2 - 1) × π
    0.1026611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32251946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589500427246094 × 2 - 1) × π
    -0.179000854492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.562347769442879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32251946} λ = 0.32251946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.562347769442879))-π/2
    2×atan(0.569869569690219)-π/2
    2×0.517970077533088-π/2
    1.03594015506618-1.57079632675     		φ = -0.53485617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32251946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.479004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53485617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.645001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72264 KachelY 77267 0.32251946 -0.53485617 18.479004 -30.645001
    Oben rechts KachelX + 1 72265 KachelY 77267 0.32256740 -0.53485617 18.481751 -30.645001
    Unten links KachelX 72264 KachelY + 1 77268 0.32251946 -0.53489741 18.479004 -30.647364
    Unten rechts KachelX + 1 72265 KachelY + 1 77268 0.32256740 -0.53489741 18.481751 -30.647364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53485617--0.53489741) × R
    4.12400000000535e-05 × 6371000     		dl = 262.740040000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53485617--0.53489741) × R
    4.12400000000535e-05 × 6371000     		dr = 262.740040000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32251946-0.32256740) × cos(-0.53485617) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.860341950812986 × 6371000     		do = 262.770576980232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32251946-0.32256740) × cos(-0.53489741) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.860320929339861 × 6371000     		du = 262.764156481247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53485617)-sin(-0.53489741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860341950812986-0.860320929339861)×R²
    abs(0.32256740-0.32251946)×2.10214731248826e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10214731248826e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10214731248826e-05×40589641000000     		ar = 69039.5084555178m²