Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7226 / 9275
↖ ↑ ↗
← N 61.296626°
W100.612793°		 ← 586.72 m → N 61.296626°
W100.601807°		 →
↑
586.77 m
↓
↑
586.77 m
↓
N 61.291349°
W100.612793°		 ← 586.82 m →
344 300 m²		 N 61.291349°
W100.601807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220535278320312 y=0.283065795898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220535278320312 × 215)
    floor (0.220535278320312 × 32768)
    floor (7226.5)     		tx = 7226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.283065795898438 × 215)
    floor (0.283065795898438 × 32768)
    floor (9275.5)     		ty = 9275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7226 / 9275 ti = "15/7226/9275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7226/9275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7226 ÷ 215
    7226 ÷ 32768     		x = 0.22052001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9275 ÷ 215
    9275 ÷ 32768     		y = 0.283050537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22052001953125 × 2 - 1) × π
    -0.5589599609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75602451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.283050537109375 × 2 - 1) × π
    0.43389892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.36313367759592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75602451} λ = -1.75602451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36313367759592))-π/2
    2×atan(3.90842186563571)-π/2
    2×1.32031213704929-π/2
    2.64062427409858-1.57079632675     		φ = 1.06982795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75602451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.612793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06982795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.296626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7226 KachelY 9275 -1.75602451 1.06982795 -100.612793 61.296626
    Oben rechts KachelX + 1 7227 KachelY 9275 -1.75583276 1.06982795 -100.601807 61.296626
    Unten links KachelX 7226 KachelY + 1 9276 -1.75602451 1.06973585 -100.612793 61.291349
    Unten rechts KachelX + 1 7227 KachelY + 1 9276 -1.75583276 1.06973585 -100.601807 61.291349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06982795-1.06973585) × R
    9.21000000000394e-05 × 6371000     		dl = 586.769100000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06982795-1.06973585) × R
    9.21000000000394e-05 × 6371000     		dr = 586.769100000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75602451--1.75583276) × cos(1.06982795) × R
    0.000191749999999935 × 0.480275144268423 × 6371000     		do = 586.722967037519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75602451--1.75583276) × cos(1.06973585) × R
    0.000191749999999935 × 0.480355924788656 × 6371000     		du = 586.821651691672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06982795)-sin(1.06973585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480275144268423-0.480355924788656)×R²
    abs(-1.75583276--1.75602451)×8.0780520233581e-05×R²
    0.000191749999999935×8.0780520233581e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.0780520233581e-05×40589641000000     		ar = 344299.86011455m²