Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72259 / 77264
↖ ↑ ↗
← S 30.637912°
E 18.465271°		 ← 262.74 m → S 30.637912°
E 18.468017°		 →
↑
262.80 m
↓
↑
262.80 m
↓
S 30.640275°
E 18.465271°		 ← 262.73 m →
69 047 m²		 S 30.640275°
E 18.468017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551296234130859 y=0.589481353759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551296234130859 × 217)
    floor (0.551296234130859 × 131072)
    floor (72259.5)     		tx = 72259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589481353759766 × 217)
    floor (0.589481353759766 × 131072)
    floor (77264.5)     		ty = 77264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72259 / 77264 ti = "17/72259/77264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72259/77264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72259 ÷ 217
    72259 ÷ 131072     		x = 0.551292419433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77264 ÷ 217
    77264 ÷ 131072     		y = 0.5894775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551292419433594 × 2 - 1) × π
    0.102584838867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.32227978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5894775390625 × 2 - 1) × π
    -0.178955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.562203958744019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32227978} λ = 0.32227978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.562203958744019))-π/2
    2×atan(0.569951528924462)-π/2
    2×0.518031942988898-π/2
    1.0360638859778-1.57079632675     		φ = -0.53473244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32227978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.465271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53473244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.637912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72259 KachelY 77264 0.32227978 -0.53473244 18.465271 -30.637912
    Oben rechts KachelX + 1 72260 KachelY 77264 0.32232771 -0.53473244 18.468017 -30.637912
    Unten links KachelX 72259 KachelY + 1 77265 0.32227978 -0.53477369 18.465271 -30.640275
    Unten rechts KachelX + 1 72260 KachelY + 1 77265 0.32232771 -0.53477369 18.468017 -30.640275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53473244--0.53477369) × R
    4.12499999999927e-05 × 6371000     		dl = 262.803749999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53473244--0.53477369) × R
    4.12499999999927e-05 × 6371000     		dr = 262.803749999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32227978-0.32232771) × cos(-0.53473244) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.86040501154903 × 6371000     		do = 262.735020948642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32227978-0.32232771) × cos(-0.53477369) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.860383989369552 × 6371000     		du = 262.728601573241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53473244)-sin(-0.53477369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86040501154903-0.860383989369552)×R²
    abs(0.32232771-0.32227978)×2.10221794785248e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.10221794785248e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.10221794785248e-05×40589641000000     		ar = 69046.9052536125m²