Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72258 / 77306
↖ ↑ ↗
← S 30.737114°
E 18.462524°		 ← 262.52 m → S 30.737114°
E 18.465271°		 →
↑
262.49 m
↓
↑
262.49 m
↓
S 30.739475°
E 18.462524°		 ← 262.51 m →
68 907 m²		 S 30.739475°
E 18.465271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551288604736328 y=0.589801788330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551288604736328 × 217)
    floor (0.551288604736328 × 131072)
    floor (72258.5)     		tx = 72258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589801788330078 × 217)
    floor (0.589801788330078 × 131072)
    floor (77306.5)     		ty = 77306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72258 / 77306 ti = "17/72258/77306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72258/77306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72258 ÷ 217
    72258 ÷ 131072     		x = 0.551284790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77306 ÷ 217
    77306 ÷ 131072     		y = 0.589797973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551284790039062 × 2 - 1) × π
    0.102569580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32223184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589797973632812 × 2 - 1) × π
    -0.179595947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.564217308528061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32223184} λ = 0.32223184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564217308528061))-π/2
    2×atan(0.568805171533227)-π/2
    2×0.517166239492698-π/2
    1.0343324789854-1.57079632675     		φ = -0.53646385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32223184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.462524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53646385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.737114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72258 KachelY 77306 0.32223184 -0.53646385 18.462524 -30.737114
    Oben rechts KachelX + 1 72259 KachelY 77306 0.32227978 -0.53646385 18.465271 -30.737114
    Unten links KachelX 72258 KachelY + 1 77307 0.32223184 -0.53650505 18.462524 -30.739475
    Unten rechts KachelX + 1 72259 KachelY + 1 77307 0.32227978 -0.53650505 18.465271 -30.739475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53646385--0.53650505) × R
    4.12000000000745e-05 × 6371000     		dl = 262.485200000475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53646385--0.53650505) × R
    4.12000000000745e-05 × 6371000     		dr = 262.485200000475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32223184-0.32227978) × cos(-0.53646385) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859521377019649 × 6371000     		do = 262.519952622177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32223184-0.32227978) × cos(-0.53650505) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859500318978527 × 6371000     		du = 262.513520954384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53646385)-sin(-0.53650505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859521377019649-0.859500318978527)×R²
    abs(0.32227978-0.32223184)×2.10580411216243e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10580411216243e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10580411216243e-05×40589641000000     		ar = 68906.7581691537m²