Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72257 / 77299
↖ ↑ ↗
← S 30.720587°
E 18.459778°		 ← 262.56 m → S 30.720587°
E 18.462524°		 →
↑
262.55 m
↓
↑
262.55 m
↓
S 30.722949°
E 18.459778°		 ← 262.56 m →
68 935 m²		 S 30.722949°
E 18.462524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551280975341797 y=0.589748382568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551280975341797 × 217)
    floor (0.551280975341797 × 131072)
    floor (72257.5)     		tx = 72257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589748382568359 × 217)
    floor (0.589748382568359 × 131072)
    floor (77299.5)     		ty = 77299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72257 / 77299 ti = "17/72257/77299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72257/77299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72257 ÷ 217
    72257 ÷ 131072     		x = 0.551277160644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77299 ÷ 217
    77299 ÷ 131072     		y = 0.589744567871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551277160644531 × 2 - 1) × π
    0.102554321289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.32218390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589744567871094 × 2 - 1) × π
    -0.179489135742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.563881750230721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32218390} λ = 0.32218390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.563881750230721))-π/2
    2×atan(0.56899607085524)-π/2
    2×0.517310461622753-π/2
    1.03462092324551-1.57079632675     		φ = -0.53617540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32218390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.459778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53617540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.720587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72257 KachelY 77299 0.32218390 -0.53617540 18.459778 -30.720587
    Oben rechts KachelX + 1 72258 KachelY 77299 0.32223184 -0.53617540 18.462524 -30.720587
    Unten links KachelX 72257 KachelY + 1 77300 0.32218390 -0.53621661 18.459778 -30.722949
    Unten rechts KachelX + 1 72258 KachelY + 1 77300 0.32223184 -0.53621661 18.462524 -30.722949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53617540--0.53621661) × R
    4.12100000000137e-05 × 6371000     		dl = 262.548910000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53617540--0.53621661) × R
    4.12100000000137e-05 × 6371000     		dr = 262.548910000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32218390-0.32223184) × cos(-0.53617540) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.859668767996484 × 6371000     		do = 262.564969620042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32218390-0.32223184) × cos(-0.53621661) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.859647715061913 × 6371000     		du = 262.558539511922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53617540)-sin(-0.53621661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859668767996484-0.859647715061913)×R²
    abs(0.32223184-0.32218390)×2.10529345709976e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10529345709976e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10529345709976e-05×40589641000000     		ar = 68935.3024787088m²