Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72256 / 76992
↖ ↑ ↗
← S 29.993002°
E 18.457032°		 ← 264.47 m → S 29.993002°
E 18.459778°		 →
↑
264.52 m
↓
↑
264.52 m
↓
S 29.995381°
E 18.457032°		 ← 264.46 m →
69 958 m²		 S 29.995381°
E 18.459778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551273345947266 y=0.587406158447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551273345947266 × 217)
    floor (0.551273345947266 × 131072)
    floor (72256.5)     		tx = 72256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587406158447266 × 217)
    floor (0.587406158447266 × 131072)
    floor (76992.5)     		ty = 76992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72256 / 76992 ti = "17/72256/76992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72256/76992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72256 ÷ 217
    72256 ÷ 131072     		x = 0.55126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76992 ÷ 217
    76992 ÷ 131072     		y = 0.58740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55126953125 × 2 - 1) × π
    0.1025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32213597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58740234375 × 2 - 1) × π
    -0.1748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.549165122047363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32213597} λ = 0.32213597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.549165122047363))-π/2
    2×atan(0.577431694186043)-π/2
    2×0.523659842192447-π/2
    1.04731968438489-1.57079632675     		φ = -0.52347664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32213597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.457032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52347664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.993002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72256 KachelY 76992 0.32213597 -0.52347664 18.457032 -29.993002
    Oben rechts KachelX + 1 72257 KachelY 76992 0.32218390 -0.52347664 18.459778 -29.993002
    Unten links KachelX 72256 KachelY + 1 76993 0.32213597 -0.52351816 18.457032 -29.995381
    Unten rechts KachelX + 1 72257 KachelY + 1 76993 0.32218390 -0.52351816 18.459778 -29.995381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52347664--0.52351816) × R
    4.15199999999061e-05 × 6371000     		dl = 264.523919999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52347664--0.52351816) × R
    4.15199999999061e-05 × 6371000     		dr = 264.523919999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32213597-0.32218390) × cos(-0.52347664) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.866086465124141 × 6371000     		do = 264.469921145994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32213597-0.32218390) × cos(-0.52351816) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.866065708769449 × 6371000     		du = 264.46358294339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52347664)-sin(-0.52351816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866086465124141-0.866065708769449)×R²
    abs(0.32218390-0.32213597)×2.07563546914535e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.07563546914535e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.07563546914535e-05×40589641000000     		ar = 69957.7819703814m²