Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72254 / 77282
↖ ↑ ↗
← S 30.680440°
E 18.451538°		 ← 262.67 m → S 30.680440°
E 18.454285°		 →
↑
262.68 m
↓
↑
262.68 m
↓
S 30.682802°
E 18.451538°		 ← 262.67 m →
68 997 m²		 S 30.682802°
E 18.454285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551258087158203 y=0.589618682861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551258087158203 × 217)
    floor (0.551258087158203 × 131072)
    floor (72254.5)     		tx = 72254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589618682861328 × 217)
    floor (0.589618682861328 × 131072)
    floor (77282.5)     		ty = 77282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72254 / 77282 ti = "17/72254/77282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72254/77282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72254 ÷ 217
    72254 ÷ 131072     		x = 0.551254272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77282 ÷ 217
    77282 ÷ 131072     		y = 0.589614868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551254272460938 × 2 - 1) × π
    0.102508544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32204009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589614868164062 × 2 - 1) × π
    -0.179229736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.56306682293718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32204009} λ = 0.32204009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.56306682293718))-π/2
    2×atan(0.569459950271624)-π/2
    2×0.517660818287501-π/2
    1.035321636575-1.57079632675     		φ = -0.53547469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32204009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.451538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53547469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.680440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72254 KachelY 77282 0.32204009 -0.53547469 18.451538 -30.680440
    Oben rechts KachelX + 1 72255 KachelY 77282 0.32208803 -0.53547469 18.454285 -30.680440
    Unten links KachelX 72254 KachelY + 1 77283 0.32204009 -0.53551592 18.451538 -30.682802
    Unten rechts KachelX + 1 72255 KachelY + 1 77283 0.32208803 -0.53551592 18.454285 -30.682802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53547469--0.53551592) × R
    4.12300000000032e-05 × 6371000     		dl = 262.67633000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53547469--0.53551592) × R
    4.12300000000032e-05 × 6371000     		dr = 262.67633000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32204009-0.32208803) × cos(-0.53547469) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.860026515918418 × 6371000     		do = 262.674235044137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32204009-0.32208803) × cos(-0.53551592) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.860005477607032 × 6371000     		du = 262.667809402313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53547469)-sin(-0.53551592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860026515918418-0.860005477607032)×R²
    abs(0.32208803-0.32204009)×2.10383113863344e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10383113863344e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10383113863344e-05×40589641000000     		ar = 68997.4601247222m²