Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72252 / 78532
↖ ↑ ↗
← S 33.587168°
E 18.446045°		 ← 254.38 m → S 33.587168°
E 18.448791°		 →
↑
254.39 m
↓
↑
254.39 m
↓
S 33.589455°
E 18.446045°		 ← 254.37 m →
64 712 m²		 S 33.589455°
E 18.448791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551242828369141 y=0.599155426025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551242828369141 × 217)
    floor (0.551242828369141 × 131072)
    floor (72252.5)     		tx = 72252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599155426025391 × 217)
    floor (0.599155426025391 × 131072)
    floor (78532.5)     		ty = 78532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72252 / 78532 ti = "17/72252/78532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72252/78532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72252 ÷ 217
    72252 ÷ 131072     		x = 0.551239013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78532 ÷ 217
    78532 ÷ 131072     		y = 0.599151611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551239013671875 × 2 - 1) × π
    0.10247802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32194422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599151611328125 × 2 - 1) × π
    -0.19830322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.62298794746225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32194422} λ = 0.32194422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.62298794746225))-π/2
    2×atan(0.536339486825881)-π/2
    2×0.492294835162532-π/2
    0.984589670325065-1.57079632675     		φ = -0.58620666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32194422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.446045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58620666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.587168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72252 KachelY 78532 0.32194422 -0.58620666 18.446045 -33.587168
    Oben rechts KachelX + 1 72253 KachelY 78532 0.32199215 -0.58620666 18.448791 -33.587168
    Unten links KachelX 72252 KachelY + 1 78533 0.32194422 -0.58624659 18.446045 -33.589455
    Unten rechts KachelX + 1 72253 KachelY + 1 78533 0.32199215 -0.58624659 18.448791 -33.589455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58620666--0.58624659) × R
    3.99300000000213e-05 × 6371000     		dl = 254.394030000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58620666--0.58624659) × R
    3.99300000000213e-05 × 6371000     		dr = 254.394030000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32194422-0.32199215) × cos(-0.58620666) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.833045162187906 × 6371000     		do = 254.380361807239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32194422-0.32199215) × cos(-0.58624659) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.833023072048671 × 6371000     		du = 254.37361631748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58620666)-sin(-0.58624659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833045162187906-0.833023072048671)×R²
    abs(0.32199215-0.32194422)×2.20901392348205e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.20901392348205e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.20901392348205e-05×40589641000000     		ar = 64711.9873955342m²