Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7225 / 5193
↖ ↑ ↗
← N 76.656985°
W100.623779°		 ← 281.92 m → N 76.656985°
W100.612793°		 →
↑
281.98 m
↓
↑
281.98 m
↓
N 76.654449°
W100.623779°		 ← 281.97 m →
79 502 m²		 N 76.654449°
W100.612793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220504760742188 y=0.158493041992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220504760742188 × 215)
    floor (0.220504760742188 × 32768)
    floor (7225.5)     		tx = 7225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158493041992188 × 215)
    floor (0.158493041992188 × 32768)
    floor (5193.5)     		ty = 5193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7225 / 5193 ti = "15/7225/5193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7225/5193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7225 ÷ 215
    7225 ÷ 32768     		x = 0.220489501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5193 ÷ 215
    5193 ÷ 32768     		y = 0.158477783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220489501953125 × 2 - 1) × π
    -0.55902099609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75621625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158477783203125 × 2 - 1) × π
    0.68304443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14584737459219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75621625} λ = -1.75621625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14584737459219))-π/2
    2×atan(8.54928261364991)-π/2
    2×1.45435655658242-π/2
    2.90871311316483-1.57079632675     		φ = 1.33791679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75621625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.623779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33791679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.656985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7225 KachelY 5193 -1.75621625 1.33791679 -100.623779 76.656985
    Oben rechts KachelX + 1 7226 KachelY 5193 -1.75602451 1.33791679 -100.612793 76.656985
    Unten links KachelX 7225 KachelY + 1 5194 -1.75621625 1.33787253 -100.623779 76.654449
    Unten rechts KachelX + 1 7226 KachelY + 1 5194 -1.75602451 1.33787253 -100.612793 76.654449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33791679-1.33787253) × R
    4.42599999999072e-05 × 6371000     		dl = 281.980459999408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33791679-1.33787253) × R
    4.42599999999072e-05 × 6371000     		dr = 281.980459999408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75621625--1.75602451) × cos(1.33791679) × R
    0.000191739999999996 × 0.230780282707335 × 6371000     		do = 281.915548469559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75621625--1.75602451) × cos(1.33787253) × R
    0.000191739999999996 × 0.230823347721949 × 6371000     		du = 281.968155638042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33791679)-sin(1.33787253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230780282707335-0.230823347721949)×R²
    abs(-1.75602451--1.75621625)×4.30650146144296e-05×R²
    0.000191739999999996×4.30650146144296e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.30650146144296e-05×40589641000000     		ar = 79502.0931486691m²