Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7225 / 4805
↖ ↑ ↗
← N 59.478569°
W 21.247559°		 ← 1 240.84 m → N 59.478569°
W 21.225586°		 →
↑
1 241.01 m
↓
↑
1 241.01 m
↓
N 59.467408°
W 21.247559°		 ← 1 241.25 m →
1 540 152 m²		 N 59.467408°
W 21.225586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441009521484375 y=0.293304443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441009521484375 × 214)
    floor (0.441009521484375 × 16384)
    floor (7225.5)     		tx = 7225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293304443359375 × 214)
    floor (0.293304443359375 × 16384)
    floor (4805.5)     		ty = 4805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7225 / 4805 ti = "14/7225/4805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7225/4805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7225 ÷ 214
    7225 ÷ 16384     		x = 0.44097900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4805 ÷ 214
    4805 ÷ 16384     		y = 0.29327392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44097900390625 × 2 - 1) × π
    -0.1180419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37083986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29327392578125 × 2 - 1) × π
    0.4134521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29889823210504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37083986} λ = -0.37083986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29889823210504))-π/2
    2×atan(3.66525618060195)-π/2
    2×1.30444659363362-π/2
    2.60889318726724-1.57079632675     		φ = 1.03809686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37083986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.247559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03809686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.478569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7225 KachelY 4805 -0.37083986 1.03809686 -21.247559 59.478569
    Oben rechts KachelX + 1 7226 KachelY 4805 -0.37045636 1.03809686 -21.225586 59.478569
    Unten links KachelX 7225 KachelY + 1 4806 -0.37083986 1.03790207 -21.247559 59.467408
    Unten rechts KachelX + 1 7226 KachelY + 1 4806 -0.37045636 1.03790207 -21.225586 59.467408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03809686-1.03790207) × R
    0.000194790000000111 × 6371000     		dl = 1241.00709000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03809686-1.03790207) × R
    0.000194790000000111 × 6371000     		dr = 1241.00709000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37083986--0.37045636) × cos(1.03809686) × R
    0.000383500000000037 × 0.507860615473154 × 6371000     		do = 1240.84492278244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37083986--0.37045636) × cos(1.03790207) × R
    0.000383500000000037 × 0.508028405590247 × 6371000     		du = 1241.25488076805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03809686)-sin(1.03790207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507860615473154-0.508028405590247)×R²
    abs(-0.37045636--0.37083986)×0.000167790117093669×R²
    0.000383500000000037×0.000167790117093669×6371000²
    0.000383500000000037×0.000167790117093669×40589641000000     		ar = 1540151.73201671m²