Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72248 / 94649
↖ ↑ ↗
← S 62.177041°
E 18.435059°		 ← 142.55 m → S 62.177041°
E 18.437805°		 →
↑
142.58 m
↓
↑
142.58 m
↓
S 62.178324°
E 18.435059°		 ← 142.55 m →
20 325 m²		 S 62.178324°
E 18.437805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551212310791016 y=0.722118377685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551212310791016 × 217)
    floor (0.551212310791016 × 131072)
    floor (72248.5)     		tx = 72248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722118377685547 × 217)
    floor (0.722118377685547 × 131072)
    floor (94649.5)     		ty = 94649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72248 / 94649 ti = "17/72248/94649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72248/94649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72248 ÷ 217
    72248 ÷ 131072     		x = 0.55120849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94649 ÷ 217
    94649 ÷ 131072     		y = 0.722114562988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55120849609375 × 2 - 1) × π
    0.1024169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32175247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722114562988281 × 2 - 1) × π
    -0.444229125976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.39558695863869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32175247} λ = 0.32175247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39558695863869))-π/2
    2×atan(0.247687611309001)-π/2
    2×0.24280111595513-π/2
    0.48560223191026-1.57079632675     		φ = -1.08519409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32175247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.435059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08519409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.177041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72248 KachelY 94649 0.32175247 -1.08519409 18.435059 -62.177041
    Oben rechts KachelX + 1 72249 KachelY 94649 0.32180041 -1.08519409 18.437805 -62.177041
    Unten links KachelX 72248 KachelY + 1 94650 0.32175247 -1.08521647 18.435059 -62.178324
    Unten rechts KachelX + 1 72249 KachelY + 1 94650 0.32180041 -1.08521647 18.437805 -62.178324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08519409--1.08521647) × R
    2.23800000000995e-05 × 6371000     		dl = 142.582980000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08519409--1.08521647) × R
    2.23800000000995e-05 × 6371000     		dr = 142.582980000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32175247-0.32180041) × cos(-1.08519409) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.466741058677988 × 6371000     		do = 142.554733235014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32175247-0.32180041) × cos(-1.08521647) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.466721265822915 × 6371000     		du = 142.548687987607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08519409)-sin(-1.08521647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466741058677988-0.466721265822915)×R²
    abs(0.32180041-0.32175247)×1.97928550724202e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97928550724202e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97928550724202e-05×40589641000000     		ar = 20325.4477040336m²