Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72247 / 77287
↖ ↑ ↗
← S 30.692250°
E 18.432312°		 ← 262.64 m → S 30.692250°
E 18.435059°		 →
↑
262.61 m
↓
↑
262.61 m
↓
S 30.694611°
E 18.432312°		 ← 262.64 m →
68 972 m²		 S 30.694611°
E 18.435059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551204681396484 y=0.589656829833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551204681396484 × 217)
    floor (0.551204681396484 × 131072)
    floor (72247.5)     		tx = 72247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589656829833984 × 217)
    floor (0.589656829833984 × 131072)
    floor (77287.5)     		ty = 77287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72247 / 77287 ti = "17/72247/77287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72247/77287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72247 ÷ 217
    72247 ÷ 131072     		x = 0.551200866699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77287 ÷ 217
    77287 ÷ 131072     		y = 0.589653015136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551200866699219 × 2 - 1) × π
    0.102401733398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.32170453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589653015136719 × 2 - 1) × π
    -0.179306030273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.56330650743528
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32170453} λ = 0.32170453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.56330650743528))-π/2
    2×atan(0.569323475905303)-π/2
    2×0.517557757078597-π/2
    1.03511551415719-1.57079632675     		φ = -0.53568081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32170453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.432312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53568081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.692250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72247 KachelY 77287 0.32170453 -0.53568081 18.432312 -30.692250
    Oben rechts KachelX + 1 72248 KachelY 77287 0.32175247 -0.53568081 18.435059 -30.692250
    Unten links KachelX 72247 KachelY + 1 77288 0.32170453 -0.53572203 18.432312 -30.694611
    Unten rechts KachelX + 1 72248 KachelY + 1 77288 0.32175247 -0.53572203 18.435059 -30.694611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53568081--0.53572203) × R
    4.1219999999953e-05 × 6371000     		dl = 262.6126199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53568081--0.53572203) × R
    4.1219999999953e-05 × 6371000     		dr = 262.6126199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32170453-0.32175247) × cos(-0.53568081) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859921325055299 × 6371000     		do = 262.642107046927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32170453-0.32175247) × cos(-0.53572203) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859900284540282 × 6371000     		du = 262.635680732058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53568081)-sin(-0.53572203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859921325055299-0.859900284540282)×R²
    abs(0.32175247-0.32170453)×2.10405150166126e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10405150166126e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10405150166126e-05×40589641000000     		ar = 68972.288047926m²