Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72246 / 77290
↖ ↑ ↗
← S 30.699335°
E 18.429566°		 ← 262.57 m → S 30.699335°
E 18.432312°		 →
↑
262.61 m
↓
↑
262.61 m
↓
S 30.701697°
E 18.429566°		 ← 262.56 m →
68 953 m²		 S 30.701697°
E 18.432312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551197052001953 y=0.589679718017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551197052001953 × 217)
    floor (0.551197052001953 × 131072)
    floor (72246.5)     		tx = 72246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589679718017578 × 217)
    floor (0.589679718017578 × 131072)
    floor (77290.5)     		ty = 77290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72246 / 77290 ti = "17/72246/77290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72246/77290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72246 ÷ 217
    72246 ÷ 131072     		x = 0.551193237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77290 ÷ 217
    77290 ÷ 131072     		y = 0.589675903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551193237304688 × 2 - 1) × π
    0.102386474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32165660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589675903320312 × 2 - 1) × π
    -0.179351806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.56345031813414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32165660} λ = 0.32165660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.56345031813414))-π/2
    2×atan(0.56924160698531)-π/2
    2×0.517495926404853-π/2
    1.03499185280971-1.57079632675     		φ = -0.53580447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32165660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.429566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53580447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.699335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72246 KachelY 77290 0.32165660 -0.53580447 18.429566 -30.699335
    Oben rechts KachelX + 1 72247 KachelY 77290 0.32170453 -0.53580447 18.432312 -30.699335
    Unten links KachelX 72246 KachelY + 1 77291 0.32165660 -0.53584569 18.429566 -30.701697
    Unten rechts KachelX + 1 72247 KachelY + 1 77291 0.32170453 -0.53584569 18.432312 -30.701697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53580447--0.53584569) × R
    4.1220000000064e-05 × 6371000     		dl = 262.612620000408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53580447--0.53584569) × R
    4.1220000000064e-05 × 6371000     		dr = 262.612620000408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32165660-0.32170453) × cos(-0.53580447) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.859858199127145 × 6371000     		do = 262.568045197466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32165660-0.32170453) × cos(-0.53584569) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.859837154229096 × 6371000     		du = 262.561618884676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53580447)-sin(-0.53584569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859858199127145-0.859837154229096)×R²
    abs(0.32170453-0.32165660)×2.10448980492162e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.10448980492162e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.10448980492162e-05×40589641000000     		ar = 68952.8384721513m²