Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72244 / 77292
S 30.704058°
E 18.424072°
← 262.61 m → S 30.704058°
E 18.426819°

262.61 m

262.61 m
S 30.706420°
E 18.424072°
← 262.60 m →
68 964 m²
S 30.706420°
E 18.426819°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551181793212891 y=0.589694976806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551181793212891 × 217)
    floor (0.551181793212891 × 131072)
    floor (72244.5)
    tx = 72244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589694976806641 × 217)
    floor (0.589694976806641 × 131072)
    floor (77292.5)
    ty = 77292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72244 / 77292 ti = "17/72244/77292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72244/77292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72244 ÷ 217
    72244 ÷ 131072
    x = 0.551177978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77292 ÷ 217
    77292 ÷ 131072
    y = 0.589691162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.551177978515625 × 2 - 1) × π
    0.10235595703125 × 3.1415926535
    Λ = 0.32156072
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.589691162109375 × 2 - 1) × π
    -0.17938232421875 × 3.1415926535
    Φ = -0.56354619193338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32156072} λ = 0.32156072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.56354619193338))-π/2
    2×atan(0.569187034245853)-π/2
    2×0.517454708477567-π/2
    1.03490941695513-1.57079632675
    φ = -0.53588691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32156072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.424072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53588691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.704058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72244 KachelY 77292 0.32156072 -0.53588691 18.424072 -30.704058
    Oben rechts KachelX + 1 72245 KachelY 77292 0.32160866 -0.53588691 18.426819 -30.704058
    Unten links KachelX 72244 KachelY + 1 77293 0.32156072 -0.53592813 18.424072 -30.706420
    Unten rechts KachelX + 1 72245 KachelY + 1 77293 0.32160866 -0.53592813 18.426819 -30.706420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.53588691--0.53592813) × R
    4.1219999999953e-05 × 6371000
    dl = 262.6126199997m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.53588691--0.53592813) × R
    4.1219999999953e-05 × 6371000
    dr = 262.6126199997m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.32156072-0.32160866) × cos(-0.53588691) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.859816107870107 × 6371000
    do = 262.609971009975m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.32156072-0.32160866) × cos(-0.53592813) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.859795060050215 × 6371000
    du = 262.603542464009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.53588691)-sin(-0.53592813))×
    abs(λ12)×abs(0.859816107870107-0.859795060050215)×
    abs(0.32160866-0.32156072)×2.10478198919839e-05×
    4.79399999999686e-05×2.10478198919839e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10478198919839e-05×40589641000000
    ar = 68963.8484258865m²