Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72243 / 77293
↖ ↑ ↗
← S 30.706420°
E 18.421326°		 ← 262.55 m → S 30.706420°
E 18.424072°		 →
↑
262.55 m
↓
↑
262.55 m
↓
S 30.708781°
E 18.421326°		 ← 262.54 m →
68 931 m²		 S 30.708781°
E 18.424072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551174163818359 y=0.589702606201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551174163818359 × 217)
    floor (0.551174163818359 × 131072)
    floor (72243.5)     		tx = 72243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589702606201172 × 217)
    floor (0.589702606201172 × 131072)
    floor (77293.5)     		ty = 77293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72243 / 77293 ti = "17/72243/77293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72243/77293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72243 ÷ 217
    72243 ÷ 131072     		x = 0.551170349121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77293 ÷ 217
    77293 ÷ 131072     		y = 0.589698791503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551170349121094 × 2 - 1) × π
    0.102340698242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.32151279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589698791503906 × 2 - 1) × π
    -0.179397583007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.563594128833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32151279} λ = 0.32151279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.563594128833))-π/2
    2×atan(0.569159749838097)-π/2
    2×0.517434100270556-π/2
    1.03486820054111-1.57079632675     		φ = -0.53592813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32151279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.421326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53592813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.706420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72243 KachelY 77293 0.32151279 -0.53592813 18.421326 -30.706420
    Oben rechts KachelX + 1 72244 KachelY 77293 0.32156072 -0.53592813 18.424072 -30.706420
    Unten links KachelX 72243 KachelY + 1 77294 0.32151279 -0.53596934 18.421326 -30.708781
    Unten rechts KachelX + 1 72244 KachelY + 1 77294 0.32156072 -0.53596934 18.424072 -30.708781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53592813--0.53596934) × R
    4.12100000000137e-05 × 6371000     		dl = 262.548910000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53592813--0.53596934) × R
    4.12100000000137e-05 × 6371000     		dr = 262.548910000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32151279-0.32156072) × cos(-0.53592813) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.859795060050215 × 6371000     		do = 262.548764921066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32151279-0.32156072) × cos(-0.53596934) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.859774015876202 × 6371000     		du = 262.54233882937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53592813)-sin(-0.53596934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859795060050215-0.859774015876202)×R²
    abs(0.32156072-0.32151279)×2.10441740128298e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.10441740128298e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.10441740128298e-05×40589641000000     		ar = 68931.0484800807m²