Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72240 / 77288
↖ ↑ ↗
← S 30.694611°
E 18.413086°		 ← 262.58 m → S 30.694611°
E 18.415832°		 →
↑
262.61 m
↓
↑
262.61 m
↓
S 30.696973°
E 18.413086°		 ← 262.57 m →
68 956 m²		 S 30.696973°
E 18.415832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551151275634766 y=0.589664459228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551151275634766 × 217)
    floor (0.551151275634766 × 131072)
    floor (72240.5)     		tx = 72240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589664459228516 × 217)
    floor (0.589664459228516 × 131072)
    floor (77288.5)     		ty = 77288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72240 / 77288 ti = "17/72240/77288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72240/77288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72240 ÷ 217
    72240 ÷ 131072     		x = 0.5511474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77288 ÷ 217
    77288 ÷ 131072     		y = 0.58966064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5511474609375 × 2 - 1) × π
    0.102294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32136898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58966064453125 × 2 - 1) × π
    -0.1793212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.5633544443349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32136898} λ = 0.32136898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.5633544443349))-π/2
    2×atan(0.569296184957114)-π/2
    2×0.51753714634967-π/2
    1.03507429269934-1.57079632675     		φ = -0.53572203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32136898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.413086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53572203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.694611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72240 KachelY 77288 0.32136898 -0.53572203 18.413086 -30.694611
    Oben rechts KachelX + 1 72241 KachelY 77288 0.32141691 -0.53572203 18.415832 -30.694611
    Unten links KachelX 72240 KachelY + 1 77289 0.32136898 -0.53576325 18.413086 -30.696973
    Unten rechts KachelX + 1 72241 KachelY + 1 77289 0.32141691 -0.53576325 18.415832 -30.696973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53572203--0.53576325) × R
    4.1220000000064e-05 × 6371000     		dl = 262.612620000408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53572203--0.53576325) × R
    4.1220000000064e-05 × 6371000     		dr = 262.612620000408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32136898-0.32141691) × cos(-0.53572203) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.859900284540282 × 6371000     		do = 262.580896484655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32136898-0.32141691) × cos(-0.53576325) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.859879242564219 × 6371000     		du = 262.574471064129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53572203)-sin(-0.53576325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859900284540282-0.859879242564219)×R²
    abs(0.32141691-0.32136898)×2.10419760632297e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.10419760632297e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.10419760632297e-05×40589641000000     		ar = 68956.2134992979m²