Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7223 / 7196
↖ ↑ ↗
← N 70.510241°
W100.645752°		 ← 407.59 m → N 70.510241°
W100.634766°		 →
↑
407.62 m
↓
↑
407.62 m
↓
N 70.506575°
W100.645752°		 ← 407.66 m →
166 154 m²		 N 70.506575°
W100.634766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220443725585938 y=0.219619750976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220443725585938 × 215)
    floor (0.220443725585938 × 32768)
    floor (7223.5)     		tx = 7223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219619750976562 × 215)
    floor (0.219619750976562 × 32768)
    floor (7196.5)     		ty = 7196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7223 / 7196 ti = "15/7223/7196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7223/7196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7223 ÷ 215
    7223 ÷ 32768     		x = 0.220428466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7196 ÷ 215
    7196 ÷ 32768     		y = 0.2196044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220428466796875 × 2 - 1) × π
    -0.55914306640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.75659975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2196044921875 × 2 - 1) × π
    0.560791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7617769348363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75659975} λ = -1.75659975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7617769348363))-π/2
    2×atan(5.82277489870824)-π/2
    2×1.40071609155375-π/2
    2.80143218310751-1.57079632675     		φ = 1.23063586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75659975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.645752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23063586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.510241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7223 KachelY 7196 -1.75659975 1.23063586 -100.645752 70.510241
    Oben rechts KachelX + 1 7224 KachelY 7196 -1.75640800 1.23063586 -100.634766 70.510241
    Unten links KachelX 7223 KachelY + 1 7197 -1.75659975 1.23057188 -100.645752 70.506575
    Unten rechts KachelX + 1 7224 KachelY + 1 7197 -1.75640800 1.23057188 -100.634766 70.506575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23063586-1.23057188) × R
    6.39799999999635e-05 × 6371000     		dl = 407.616579999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23063586-1.23057188) × R
    6.39799999999635e-05 × 6371000     		dr = 407.616579999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75659975--1.75640800) × cos(1.23063586) × R
    0.000191749999999935 × 0.333638368666138 × 6371000     		do = 407.585726468386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75659975--1.75640800) × cos(1.23057188) × R
    0.000191749999999935 × 0.333698682002156 × 6371000     		du = 407.659407606964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23063586)-sin(1.23057188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333638368666138-0.333698682002156)×R²
    abs(-1.75640800--1.75659975)×6.03133360179142e-05×R²
    0.000191749999999935×6.03133360179142e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.03133360179142e-05×40589641000000     		ar = 166153.716763539m²