Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7223 / 5288
↖ ↑ ↗
← N 76.413973°
W100.645752°		 ← 286.97 m → N 76.413973°
W100.634766°		 →
↑
286.95 m
↓
↑
286.95 m
↓
N 76.411392°
W100.645752°		 ← 287.02 m →
82 353 m²		 N 76.411392°
W100.634766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220443725585938 y=0.161392211914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220443725585938 × 215)
    floor (0.220443725585938 × 32768)
    floor (7223.5)     		tx = 7223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161392211914062 × 215)
    floor (0.161392211914062 × 32768)
    floor (5288.5)     		ty = 5288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7223 / 5288 ti = "15/7223/5288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7223/5288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7223 ÷ 215
    7223 ÷ 32768     		x = 0.220428466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5288 ÷ 215
    5288 ÷ 32768     		y = 0.161376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220428466796875 × 2 - 1) × π
    -0.55914306640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.75659975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161376953125 × 2 - 1) × π
    0.67724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12763135273657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75659975} λ = -1.75659975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12763135273657))-π/2
    2×atan(8.39495854733068)-π/2
    2×1.45223587521238-π/2
    2.90447175042476-1.57079632675     		φ = 1.33367542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75659975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.645752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33367542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.413973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7223 KachelY 5288 -1.75659975 1.33367542 -100.645752 76.413973
    Oben rechts KachelX + 1 7224 KachelY 5288 -1.75640800 1.33367542 -100.634766 76.413973
    Unten links KachelX 7223 KachelY + 1 5289 -1.75659975 1.33363038 -100.645752 76.411392
    Unten rechts KachelX + 1 7224 KachelY + 1 5289 -1.75640800 1.33363038 -100.634766 76.411392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33367542-1.33363038) × R
    4.50400000000517e-05 × 6371000     		dl = 286.949840000329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33367542-1.33363038) × R
    4.50400000000517e-05 × 6371000     		dr = 286.949840000329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75659975--1.75640800) × cos(1.33367542) × R
    0.000191749999999935 × 0.234905072548453 × 6371000     		do = 286.96925664919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75659975--1.75640800) × cos(1.33363038) × R
    0.000191749999999935 × 0.234948852015132 × 6371000     		du = 287.02273936403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33367542)-sin(1.33363038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234905072548453-0.234948852015132)×R²
    abs(-1.75640800--1.75659975)×4.37794666793279e-05×R²
    0.000191749999999935×4.37794666793279e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.37794666793279e-05×40589641000000     		ar = 82353.4557227874m²