Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7223 / 10925
↖ ↑ ↗
← S 51.358061°
W 21.291504°		 ← 1 525.71 m → S 51.358061°
W 21.269531°		 →
↑
1 525.47 m
↓
↑
1 525.47 m
↓
S 51.371780°
W 21.291504°		 ← 1 525.25 m →
2 327 078 m²		 S 51.371780°
W 21.269531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440887451171875 y=0.666839599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440887451171875 × 214)
    floor (0.440887451171875 × 16384)
    floor (7223.5)     		tx = 7223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666839599609375 × 214)
    floor (0.666839599609375 × 16384)
    floor (10925.5)     		ty = 10925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7223 / 10925 ti = "14/7223/10925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7223/10925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7223 ÷ 214
    7223 ÷ 16384     		x = 0.44085693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10925 ÷ 214
    10925 ÷ 16384     		y = 0.66680908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44085693359375 × 2 - 1) × π
    -0.1182861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37160685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66680908203125 × 2 - 1) × π
    -0.3336181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.04809237329291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37160685} λ = -0.37160685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04809237329291))-π/2
    2×atan(0.350605936830919)-π/2
    2×0.337214527459721-π/2
    0.674429054919443-1.57079632675     		φ = -0.89636727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37160685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.291504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89636727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.358061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7223 KachelY 10925 -0.37160685 -0.89636727 -21.291504 -51.358061
    Oben rechts KachelX + 1 7224 KachelY 10925 -0.37122335 -0.89636727 -21.269531 -51.358061
    Unten links KachelX 7223 KachelY + 1 10926 -0.37160685 -0.89660671 -21.291504 -51.371780
    Unten rechts KachelX + 1 7224 KachelY + 1 10926 -0.37122335 -0.89660671 -21.269531 -51.371780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89636727--0.89660671) × R
    0.00023943999999998 × 6371000     		dl = 1525.47223999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89636727--0.89660671) × R
    0.00023943999999998 × 6371000     		dr = 1525.47223999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37160685--0.37122335) × cos(-0.89636727) × R
    0.000383499999999981 × 0.624451475572185 × 6371000     		do = 1525.70886455872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37160685--0.37122335) × cos(-0.89660671) × R
    0.000383499999999981 × 0.624264439804078 × 6371000     		du = 1525.25188408777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89636727)-sin(-0.89660671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624451475572185-0.624264439804078)×R²
    abs(-0.37122335--0.37160685)×0.000187035768106969×R²
    0.000383499999999981×0.000187035768106969×6371000²
    0.000383499999999981×0.000187035768106969×40589641000000     		ar = 2327077.97481274m²