Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72224 / 77344
↖ ↑ ↗
← S 30.826781°
E 18.369140°		 ← 262.28 m → S 30.826781°
E 18.371887°		 →
↑
262.29 m
↓
↑
262.29 m
↓
S 30.829140°
E 18.369140°		 ← 262.27 m →
68 792 m²		 S 30.829140°
E 18.371887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551029205322266 y=0.590091705322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551029205322266 × 217)
    floor (0.551029205322266 × 131072)
    floor (72224.5)     		tx = 72224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590091705322266 × 217)
    floor (0.590091705322266 × 131072)
    floor (77344.5)     		ty = 77344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72224 / 77344 ti = "17/72224/77344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72224/77344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72224 ÷ 217
    72224 ÷ 131072     		x = 0.551025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77344 ÷ 217
    77344 ÷ 131072     		y = 0.590087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551025390625 × 2 - 1) × π
    0.10205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32060198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590087890625 × 2 - 1) × π
    -0.18017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.566038910713623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32060198} λ = 0.32060198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.566038910713623))-π/2
    2×atan(0.567769977931318)-π/2
    2×0.516383751114733-π/2
    1.03276750222947-1.57079632675     		φ = -0.53802882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32060198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.369140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53802882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.826781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72224 KachelY 77344 0.32060198 -0.53802882 18.369140 -30.826781
    Oben rechts KachelX + 1 72225 KachelY 77344 0.32064992 -0.53802882 18.371887 -30.826781
    Unten links KachelX 72224 KachelY + 1 77345 0.32060198 -0.53806999 18.369140 -30.829140
    Unten rechts KachelX + 1 72225 KachelY + 1 77345 0.32064992 -0.53806999 18.371887 -30.829140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53802882--0.53806999) × R
    4.11700000000348e-05 × 6371000     		dl = 262.294070000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53802882--0.53806999) × R
    4.11700000000348e-05 × 6371000     		dr = 262.294070000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32060198-0.32064992) × cos(-0.53802882) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.858720468956848 × 6371000     		do = 262.27533468412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32060198-0.32064992) × cos(-0.53806999) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.858699370897448 × 6371000     		du = 262.268890793716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53802882)-sin(-0.53806999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858720468956848-0.858699370897448)×R²
    abs(0.32064992-0.32060198)×2.10980594002041e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10980594002041e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10980594002041e-05×40589641000000     		ar = 68792.4199075752m²