Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72224 / 75232
↖ ↑ ↗
← S 25.720735°
E 18.369140°		 ← 275.16 m → S 25.720735°
E 18.371887°		 →
↑
275.16 m
↓
↑
275.16 m
↓
S 25.723210°
E 18.369140°		 ← 275.16 m →
75 714 m²		 S 25.723210°
E 18.371887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551029205322266 y=0.573978424072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551029205322266 × 217)
    floor (0.551029205322266 × 131072)
    floor (72224.5)     		tx = 72224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573978424072266 × 217)
    floor (0.573978424072266 × 131072)
    floor (75232.5)     		ty = 75232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72224 / 75232 ti = "17/72224/75232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72224/75232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72224 ÷ 217
    72224 ÷ 131072     		x = 0.551025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75232 ÷ 217
    75232 ÷ 131072     		y = 0.573974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551025390625 × 2 - 1) × π
    0.10205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32060198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573974609375 × 2 - 1) × π
    -0.14794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.464796178716064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32060198} λ = 0.32060198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.464796178716064))-π/2
    2×atan(0.628263145541497)-π/2
    2×0.560942406338994-π/2
    1.12188481267799-1.57079632675     		φ = -0.44891151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32060198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.369140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44891151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.720735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72224 KachelY 75232 0.32060198 -0.44891151 18.369140 -25.720735
    Oben rechts KachelX + 1 72225 KachelY 75232 0.32064992 -0.44891151 18.371887 -25.720735
    Unten links KachelX 72224 KachelY + 1 75233 0.32060198 -0.44895470 18.369140 -25.723210
    Unten rechts KachelX + 1 72225 KachelY + 1 75233 0.32064992 -0.44895470 18.371887 -25.723210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44891151--0.44895470) × R
    4.31899999999708e-05 × 6371000     		dl = 275.163489999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44891151--0.44895470) × R
    4.31899999999708e-05 × 6371000     		dr = 275.163489999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32060198-0.32064992) × cos(-0.44891151) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.90092002446388 × 6371000     		do = 275.164165152518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32060198-0.32064992) × cos(-0.44895470) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.900901279805025 × 6371000     		du = 275.158440051216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44891151)-sin(-0.44895470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90092002446388-0.900901279805025)×R²
    abs(0.32064992-0.32060198)×1.87446588552076e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87446588552076e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87446588552076e-05×40589641000000     		ar = 75714.3443486322m²