Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72221 / 78359
↖ ↑ ↗
← S 33.190433°
E 18.360901°		 ← 255.60 m → S 33.190433°
E 18.363647°		 →
↑
255.54 m
↓
↑
255.54 m
↓
S 33.192731°
E 18.360901°		 ← 255.59 m →
65 315 m²		 S 33.192731°
E 18.363647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551006317138672 y=0.597835540771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551006317138672 × 217)
    floor (0.551006317138672 × 131072)
    floor (72221.5)     		tx = 72221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597835540771484 × 217)
    floor (0.597835540771484 × 131072)
    floor (78359.5)     		ty = 78359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72221 / 78359 ti = "17/72221/78359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72221/78359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72221 ÷ 217
    72221 ÷ 131072     		x = 0.551002502441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78359 ÷ 217
    78359 ÷ 131072     		y = 0.597831726074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.551002502441406 × 2 - 1) × π
    0.102005004882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.32045817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597831726074219 × 2 - 1) × π
    -0.195663452148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.61469486382798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32045817} λ = 0.32045817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.61469486382798))-π/2
    2×atan(0.540805889574128)-π/2
    2×0.495756999943898-π/2
    0.991513999887796-1.57079632675     		φ = -0.57928233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32045817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.360901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57928233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.190433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72221 KachelY 78359 0.32045817 -0.57928233 18.360901 -33.190433
    Oben rechts KachelX + 1 72222 KachelY 78359 0.32050611 -0.57928233 18.363647 -33.190433
    Unten links KachelX 72221 KachelY + 1 78360 0.32045817 -0.57932244 18.360901 -33.192731
    Unten rechts KachelX + 1 72222 KachelY + 1 78360 0.32050611 -0.57932244 18.363647 -33.192731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57928233--0.57932244) × R
    4.01100000000376e-05 × 6371000     		dl = 255.54081000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57928233--0.57932244) × R
    4.01100000000376e-05 × 6371000     		dr = 255.54081000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32045817-0.32050611) × cos(-0.57928233) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.836855734810012 × 6371000     		do = 255.59728207772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32045817-0.32050611) × cos(-0.57932244) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.8368337769806 × 6371000     		du = 255.590575591423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57928233)-sin(-0.57932244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836855734810012-0.8368337769806)×R²
    abs(0.32050611-0.32045817)×2.1957829412611e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1957829412611e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1957829412611e-05×40589641000000     		ar = 65314.6796142951m²