Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7222 / 9262
↖ ↑ ↗
← N 61.365145°
W100.656738°		 ← 585.44 m → N 61.365145°
W100.645752°		 →
↑
585.49 m
↓
↑
585.49 m
↓
N 61.359880°
W100.656738°		 ← 585.54 m →
342 802 m²		 N 61.359880°
W100.645752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220413208007812 y=0.282669067382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220413208007812 × 215)
    floor (0.220413208007812 × 32768)
    floor (7222.5)     		tx = 7222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282669067382812 × 215)
    floor (0.282669067382812 × 32768)
    floor (9262.5)     		ty = 9262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7222 / 9262 ti = "15/7222/9262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7222/9262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7222 ÷ 215
    7222 ÷ 32768     		x = 0.22039794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9262 ÷ 215
    9262 ÷ 32768     		y = 0.28265380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22039794921875 × 2 - 1) × π
    -0.5592041015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.75679150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28265380859375 × 2 - 1) × π
    0.4346923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.36562639637616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75679150} λ = -1.75679150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36562639637616))-π/2
    2×atan(3.91817661509383)-π/2
    2×1.3209100784352-π/2
    2.6418201568704-1.57079632675     		φ = 1.07102383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75679150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.656738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07102383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.365145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7222 KachelY 9262 -1.75679150 1.07102383 -100.656738 61.365145
    Oben rechts KachelX + 1 7223 KachelY 9262 -1.75659975 1.07102383 -100.645752 61.365145
    Unten links KachelX 7222 KachelY + 1 9263 -1.75679150 1.07093193 -100.656738 61.359880
    Unten rechts KachelX + 1 7223 KachelY + 1 9263 -1.75659975 1.07093193 -100.645752 61.359880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07102383-1.07093193) × R
    9.18999999999226e-05 × 6371000     		dl = 585.494899999507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07102383-1.07093193) × R
    9.18999999999226e-05 × 6371000     		dr = 585.494899999507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75679150--1.75659975) × cos(1.07102383) × R
    0.000191750000000157 × 0.479225873353369 × 6371000     		do = 585.441136504484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75679150--1.75659975) × cos(1.07093193) × R
    0.000191750000000157 × 0.479306531188539 × 6371000     		du = 585.539671281748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07102383)-sin(1.07093193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479225873353369-0.479306531188539)×R²
    abs(-1.75659975--1.75679150)×8.06578351703058e-05×R²
    0.000191750000000157×8.06578351703058e-05×6371000²
    0.000191750000000157×8.06578351703058e-05×40589641000000     		ar = 342801.645719946m²