Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7222 / 10926
↖ ↑ ↗
← S 51.371780°
W 21.313477°		 ← 1 525.21 m → S 51.371780°
W 21.291504°		 →
↑
1 525.03 m
↓
↑
1 525.03 m
↓
S 51.385495°
W 21.313477°		 ← 1 524.76 m →
2 325 640 m²		 S 51.385495°
W 21.291504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440826416015625 y=0.666900634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440826416015625 × 214)
    floor (0.440826416015625 × 16384)
    floor (7222.5)     		tx = 7222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666900634765625 × 214)
    floor (0.666900634765625 × 16384)
    floor (10926.5)     		ty = 10926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7222 / 10926 ti = "14/7222/10926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7222/10926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7222 ÷ 214
    7222 ÷ 16384     		x = 0.4407958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10926 ÷ 214
    10926 ÷ 16384     		y = 0.6668701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4407958984375 × 2 - 1) × π
    -0.118408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37199034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.333740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.04847586848987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37199034} λ = -0.37199034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04847586848987))-π/2
    2×atan(0.35047150691638)-π/2
    2×0.337094808321218-π/2
    0.674189616642436-1.57079632675     		φ = -0.89660671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37199034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.313477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89660671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.371780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7222 KachelY 10926 -0.37199034 -0.89660671 -21.313477 -51.371780
    Oben rechts KachelX + 1 7223 KachelY 10926 -0.37160685 -0.89660671 -21.291504 -51.371780
    Unten links KachelX 7222 KachelY + 1 10927 -0.37199034 -0.89684608 -21.313477 -51.385495
    Unten rechts KachelX + 1 7223 KachelY + 1 10927 -0.37160685 -0.89684608 -21.291504 -51.385495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89660671--0.89684608) × R
    0.000239369999999961 × 6371000     		dl = 1525.02626999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89660671--0.89684608) × R
    0.000239369999999961 × 6371000     		dr = 1525.02626999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37199034--0.37160685) × cos(-0.89660671) × R
    0.000383489999999986 × 0.624264439804078 × 6371000     		do = 1525.21211220033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37199034--0.37160685) × cos(-0.89684608) × R
    0.000383489999999986 × 0.624077422941323 × 6371000     		du = 1524.75518983527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89660671)-sin(-0.89684608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624264439804078-0.624077422941323)×R²
    abs(-0.37160685--0.37199034)×0.000187016862754796×R²
    0.000383489999999986×0.000187016862754796×6371000²
    0.000383489999999986×0.000187016862754796×40589641000000     		ar = 2325640.14022647m²