Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72210 / 78363
↖ ↑ ↗
← S 33.199626°
E 18.330689°		 ← 255.52 m → S 33.199626°
E 18.333435°		 →
↑
255.60 m
↓
↑
255.60 m
↓
S 33.201924°
E 18.330689°		 ← 255.51 m →
65 310 m²		 S 33.201924°
E 18.333435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550922393798828 y=0.597866058349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550922393798828 × 217)
    floor (0.550922393798828 × 131072)
    floor (72210.5)     		tx = 72210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597866058349609 × 217)
    floor (0.597866058349609 × 131072)
    floor (78363.5)     		ty = 78363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72210 / 78363 ti = "17/72210/78363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72210/78363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72210 ÷ 217
    72210 ÷ 131072     		x = 0.550918579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78363 ÷ 217
    78363 ÷ 131072     		y = 0.597862243652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550918579101562 × 2 - 1) × π
    0.101837158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31993087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597862243652344 × 2 - 1) × π
    -0.195724487304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.61488661142646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31993087} λ = 0.31993087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.61488661142646))-π/2
    2×atan(0.540702201284866)-π/2
    2×0.49567677161611-π/2
    0.991353543232221-1.57079632675     		φ = -0.57944278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31993087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.330689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57944278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.199626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72210 KachelY 78363 0.31993087 -0.57944278 18.330689 -33.199626
    Oben rechts KachelX + 1 72211 KachelY 78363 0.31997880 -0.57944278 18.333435 -33.199626
    Unten links KachelX 72210 KachelY + 1 78364 0.31993087 -0.57948290 18.330689 -33.201924
    Unten rechts KachelX + 1 72211 KachelY + 1 78364 0.31997880 -0.57948290 18.333435 -33.201924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57944278--0.57948290) × R
    4.01199999999768e-05 × 6371000     		dl = 255.604519999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57944278--0.57948290) × R
    4.01199999999768e-05 × 6371000     		dr = 255.604519999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31993087-0.31997880) × cos(-0.57944278) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.836767889939076 × 6371000     		do = 255.517141510769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31993087-0.31997880) × cos(-0.57948290) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.836745921248394 × 6371000     		du = 255.510433106786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57944278)-sin(-0.57948290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836767889939076-0.836745921248394)×R²
    abs(0.31997880-0.31993087)×2.19686906826055e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.19686906826055e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.19686906826055e-05×40589641000000     		ar = 65310.4789671452m²