Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7221 / 9271
↖ ↑ ↗
← N 61.317725°
W100.667724°		 ← 586.30 m → N 61.317725°
W100.656738°		 →
↑
586.39 m
↓
↑
586.39 m
↓
N 61.312451°
W100.667724°		 ← 586.40 m →
343 826 m²		 N 61.312451°
W100.656738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220382690429688 y=0.282943725585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220382690429688 × 215)
    floor (0.220382690429688 × 32768)
    floor (7221.5)     		tx = 7221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282943725585938 × 215)
    floor (0.282943725585938 × 32768)
    floor (9271.5)     		ty = 9271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7221 / 9271 ti = "15/7221/9271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7221/9271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7221 ÷ 215
    7221 ÷ 32768     		x = 0.220367431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9271 ÷ 215
    9271 ÷ 32768     		y = 0.282928466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220367431640625 × 2 - 1) × π
    -0.55926513671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75698324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282928466796875 × 2 - 1) × π
    0.43414306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.36390066798984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75698324} λ = -1.75698324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36390066798984))-π/2
    2×atan(3.91142073756801)-π/2
    2×1.32049625831717-π/2
    2.64099251663435-1.57079632675     		φ = 1.07019619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75698324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.667724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07019619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.317725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7221 KachelY 9271 -1.75698324 1.07019619 -100.667724 61.317725
    Oben rechts KachelX + 1 7222 KachelY 9271 -1.75679150 1.07019619 -100.656738 61.317725
    Unten links KachelX 7221 KachelY + 1 9272 -1.75698324 1.07010415 -100.667724 61.312451
    Unten rechts KachelX + 1 7222 KachelY + 1 9272 -1.75679150 1.07010415 -100.656738 61.312451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07019619-1.07010415) × R
    9.2040000000182e-05 × 6371000     		dl = 586.386840001159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07019619-1.07010415) × R
    9.2040000000182e-05 × 6371000     		dr = 586.386840001159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75698324--1.75679150) × cos(1.07019619) × R
    0.000191739999999996 × 0.47995212182259 × 6371000     		do = 586.297772389563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75698324--1.75679150) × cos(1.07010415) × R
    0.000191739999999996 × 0.480032865992172 × 6371000     		du = 586.396407492122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07019619)-sin(1.07010415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47995212182259-0.480032865992172)×R²
    abs(-1.75679150--1.75698324)×8.07441695822586e-05×R²
    0.000191739999999996×8.07441695822586e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.07441695822586e-05×40589641000000     		ar = 343826.217456846m²