Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7221 / 5587
↖ ↑ ↗
← N 49.567978°
W 21.335449°		 ← 1 584.58 m → N 49.567978°
W 21.313477°		 →
↑
1 584.79 m
↓
↑
1 584.79 m
↓
N 49.553726°
W 21.335449°		 ← 1 585.04 m →
2 511 582 m²		 N 49.553726°
W 21.313477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440765380859375 y=0.341033935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440765380859375 × 214)
    floor (0.440765380859375 × 16384)
    floor (7221.5)     		tx = 7221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341033935546875 × 214)
    floor (0.341033935546875 × 16384)
    floor (5587.5)     		ty = 5587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7221 / 5587 ti = "14/7221/5587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7221/5587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7221 ÷ 214
    7221 ÷ 16384     		x = 0.44073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5587 ÷ 214
    5587 ÷ 16384     		y = 0.34100341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44073486328125 × 2 - 1) × π
    -0.1185302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37237384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34100341796875 × 2 - 1) × π
    0.3179931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.99900498808197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37237384} λ = -0.37237384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99900498808197))-π/2
    2×atan(2.71557845081269)-π/2
    2×1.21796037198515-π/2
    2.43592074397031-1.57079632675     		φ = 0.86512442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37237384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.335449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86512442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.567978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7221 KachelY 5587 -0.37237384 0.86512442 -21.335449 49.567978
    Oben rechts KachelX + 1 7222 KachelY 5587 -0.37199034 0.86512442 -21.313477 49.567978
    Unten links KachelX 7221 KachelY + 1 5588 -0.37237384 0.86487567 -21.335449 49.553726
    Unten rechts KachelX + 1 7222 KachelY + 1 5588 -0.37199034 0.86487567 -21.313477 49.553726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86512442-0.86487567) × R
    0.00024875000000002 × 6371000     		dl = 1584.78625000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86512442-0.86487567) × R
    0.00024875000000002 × 6371000     		dr = 1584.78625000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37237384--0.37199034) × cos(0.86512442) × R
    0.000383500000000037 × 0.648545415193541 × 6371000     		do = 1584.5770692161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37237384--0.37199034) × cos(0.86487567) × R
    0.000383500000000037 × 0.648734737647142 × 6371000     		du = 1585.03963669655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86512442)-sin(0.86487567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648545415193541-0.648734737647142)×R²
    abs(-0.37199034--0.37237384)×0.000189322453600926×R²
    0.000383500000000037×0.000189322453600926×6371000²
    0.000383500000000037×0.000189322453600926×40589641000000     		ar = 2511582.49960146m²