Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7221 / 5586
↖ ↑ ↗
← N 49.582226°
W 21.335449°		 ← 1 584.11 m → N 49.582226°
W 21.313477°		 →
↑
1 584.28 m
↓
↑
1 584.28 m
↓
N 49.567978°
W 21.335449°		 ← 1 584.58 m →
2 510 042 m²		 N 49.567978°
W 21.313477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440765380859375 y=0.340972900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440765380859375 × 214)
    floor (0.440765380859375 × 16384)
    floor (7221.5)     		tx = 7221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340972900390625 × 214)
    floor (0.340972900390625 × 16384)
    floor (5586.5)     		ty = 5586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7221 / 5586 ti = "14/7221/5586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7221/5586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7221 ÷ 214
    7221 ÷ 16384     		x = 0.44073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5586 ÷ 214
    5586 ÷ 16384     		y = 0.3409423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44073486328125 × 2 - 1) × π
    -0.1185302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37237384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3409423828125 × 2 - 1) × π
    0.318115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.999388483278931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37237384} λ = -0.37237384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.999388483278931))-π/2
    2×atan(2.71662006181919)-π/2
    2×1.21808471086156-π/2
    2.43616942172311-1.57079632675     		φ = 0.86537309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37237384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.335449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86537309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.582226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7221 KachelY 5586 -0.37237384 0.86537309 -21.335449 49.582226
    Oben rechts KachelX + 1 7222 KachelY 5586 -0.37199034 0.86537309 -21.313477 49.582226
    Unten links KachelX 7221 KachelY + 1 5587 -0.37237384 0.86512442 -21.335449 49.567978
    Unten rechts KachelX + 1 7222 KachelY + 1 5587 -0.37199034 0.86512442 -21.313477 49.567978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86537309-0.86512442) × R
    0.000248669999999951 × 6371000     		dl = 1584.27656999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86537309-0.86512442) × R
    0.000248669999999951 × 6371000     		dr = 1584.27656999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37237384--0.37199034) × cos(0.86537309) × R
    0.000383500000000037 × 0.648356113517158 × 6371000     		do = 1584.11455250018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37237384--0.37199034) × cos(0.86512442) × R
    0.000383500000000037 × 0.648545415193541 × 6371000     		du = 1584.5770692161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86537309)-sin(0.86512442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648356113517158-0.648545415193541)×R²
    abs(-0.37199034--0.37237384)×0.000189301676382647×R²
    0.000383500000000037×0.000189301676382647×6371000²
    0.000383500000000037×0.000189301676382647×40589641000000     		ar = 2510041.95985341m²