Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72209 / 75249
↖ ↑ ↗
← S 25.762793°
E 18.327942°		 ← 275.07 m → S 25.762793°
E 18.330689°		 →
↑
275.04 m
↓
↑
275.04 m
↓
S 25.765267°
E 18.327942°		 ← 275.06 m →
75 653 m²		 S 25.765267°
E 18.330689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550914764404297 y=0.574108123779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550914764404297 × 217)
    floor (0.550914764404297 × 131072)
    floor (72209.5)     		tx = 72209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574108123779297 × 217)
    floor (0.574108123779297 × 131072)
    floor (75249.5)     		ty = 75249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72209 / 75249 ti = "17/72209/75249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72209/75249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72209 ÷ 217
    72209 ÷ 131072     		x = 0.550910949707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75249 ÷ 217
    75249 ÷ 131072     		y = 0.574104309082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550910949707031 × 2 - 1) × π
    0.101821899414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.31988293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574104309082031 × 2 - 1) × π
    -0.148208618164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.465611106009605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31988293} λ = 0.31988293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.465611106009605))-π/2
    2×atan(0.627751365316829)-π/2
    2×0.560575379120488-π/2
    1.12115075824098-1.57079632675     		φ = -0.44964557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31988293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.327942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44964557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.762793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72209 KachelY 75249 0.31988293 -0.44964557 18.327942 -25.762793
    Oben rechts KachelX + 1 72210 KachelY 75249 0.31993087 -0.44964557 18.330689 -25.762793
    Unten links KachelX 72209 KachelY + 1 75250 0.31988293 -0.44968874 18.327942 -25.765267
    Unten rechts KachelX + 1 72210 KachelY + 1 75250 0.31993087 -0.44968874 18.330689 -25.765267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44964557--0.44968874) × R
    4.31699999999813e-05 × 6371000     		dl = 275.036069999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44964557--0.44968874) × R
    4.31699999999813e-05 × 6371000     		dr = 275.036069999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31988293-0.31993087) × cos(-0.44964557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.900601210626341 × 6371000     		do = 275.066791200266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31988293-0.31993087) × cos(-0.44968874) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.900582446103726 × 6371000     		du = 275.06106003206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44964557)-sin(-0.44968874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900601210626341-0.900582446103726)×R²
    abs(0.31993087-0.31988293)×1.87645226150668e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87645226150668e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87645226150668e-05×40589641000000     		ar = 75652.5011120077m²