Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72208 / 75248
↖ ↑ ↗
← S 25.760320°
E 18.325195°		 ← 275.07 m → S 25.760320°
E 18.327942°		 →
↑
275.04 m
↓
↑
275.04 m
↓
S 25.762793°
E 18.325195°		 ← 275.07 m →
75 654 m²		 S 25.762793°
E 18.327942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550907135009766 y=0.574100494384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550907135009766 × 217)
    floor (0.550907135009766 × 131072)
    floor (72208.5)     		tx = 72208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574100494384766 × 217)
    floor (0.574100494384766 × 131072)
    floor (75248.5)     		ty = 75248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72208 / 75248 ti = "17/72208/75248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72208/75248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72208 ÷ 217
    72208 ÷ 131072     		x = 0.5509033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75248 ÷ 217
    75248 ÷ 131072     		y = 0.5740966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5509033203125 × 2 - 1) × π
    0.101806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31983499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5740966796875 × 2 - 1) × π
    -0.148193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.465563169109985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31983499} λ = 0.31983499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.465563169109985))-π/2
    2×atan(0.627781458492295)-π/2
    2×0.560596965360293-π/2
    1.12119393072059-1.57079632675     		φ = -0.44960240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31983499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.325195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44960240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.760320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72208 KachelY 75248 0.31983499 -0.44960240 18.325195 -25.760320
    Oben rechts KachelX + 1 72209 KachelY 75248 0.31988293 -0.44960240 18.327942 -25.760320
    Unten links KachelX 72208 KachelY + 1 75249 0.31983499 -0.44964557 18.325195 -25.762793
    Unten rechts KachelX + 1 72209 KachelY + 1 75249 0.31988293 -0.44964557 18.327942 -25.762793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44960240--0.44964557) × R
    4.31699999999813e-05 × 6371000     		dl = 275.036069999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44960240--0.44964557) × R
    4.31699999999813e-05 × 6371000     		dr = 275.036069999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31983499-0.31988293) × cos(-0.44960240) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900619973470552 × 6371000     		do = 275.072521856162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31983499-0.31988293) × cos(-0.44964557) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900601210626341 × 6371000     		du = 275.066791200584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44960240)-sin(-0.44964557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900619973470552-0.900601210626341)×R²
    abs(0.31988293-0.31983499)×1.87628442105403e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87628442105403e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87628442105403e-05×40589641000000     		ar = 75654.077319576m²