Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72207 / 75245
↖ ↑ ↗
← S 25.752898°
E 18.322449°		 ← 275.03 m → S 25.752898°
E 18.325195°		 →
↑
275.10 m
↓
↑
275.10 m
↓
S 25.755372°
E 18.322449°		 ← 275.03 m →
75 661 m²		 S 25.755372°
E 18.325195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550899505615234 y=0.574077606201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550899505615234 × 217)
    floor (0.550899505615234 × 131072)
    floor (72207.5)     		tx = 72207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574077606201172 × 217)
    floor (0.574077606201172 × 131072)
    floor (75245.5)     		ty = 75245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72207 / 75245 ti = "17/72207/75245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72207/75245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72207 ÷ 217
    72207 ÷ 131072     		x = 0.550895690917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75245 ÷ 217
    75245 ÷ 131072     		y = 0.574073791503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550895690917969 × 2 - 1) × π
    0.101791381835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.31978706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574073791503906 × 2 - 1) × π
    -0.148147583007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.465419358411125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31978706} λ = 0.31978706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.465419358411125))-π/2
    2×atan(0.62787174667462)-π/2
    2×0.560661726777943-π/2
    1.12132345355589-1.57079632675     		φ = -0.44947287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31978706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.322449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44947287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.752898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72207 KachelY 75245 0.31978706 -0.44947287 18.322449 -25.752898
    Oben rechts KachelX + 1 72208 KachelY 75245 0.31983499 -0.44947287 18.325195 -25.752898
    Unten links KachelX 72207 KachelY + 1 75246 0.31978706 -0.44951605 18.322449 -25.755372
    Unten rechts KachelX + 1 72208 KachelY + 1 75246 0.31983499 -0.44951605 18.325195 -25.755372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44947287--0.44951605) × R
    4.3179999999976e-05 × 6371000     		dl = 275.099779999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44947287--0.44951605) × R
    4.3179999999976e-05 × 6371000     		dr = 275.099779999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31978706-0.31983499) × cos(-0.44947287) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.900676260622224 × 6371000     		do = 275.032331316261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31978706-0.31983499) × cos(-0.44951605) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.900657498468917 × 6371000     		du = 275.02660206704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44947287)-sin(-0.44951605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900676260622224-0.900657498468917)×R²
    abs(0.31983499-0.31978706)×1.87621533068727e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.87621533068727e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.87621533068727e-05×40589641000000     		ar = 75660.545792061m²