Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72206 / 75243
↖ ↑ ↗
← S 25.747951°
E 18.319702°		 ← 275.10 m → S 25.747951°
E 18.322449°		 →
↑
275.10 m
↓
↑
275.10 m
↓
S 25.750425°
E 18.319702°		 ← 275.10 m →
75 679 m²		 S 25.750425°
E 18.322449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550891876220703 y=0.574062347412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550891876220703 × 217)
    floor (0.550891876220703 × 131072)
    floor (72206.5)     		tx = 72206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574062347412109 × 217)
    floor (0.574062347412109 × 131072)
    floor (75243.5)     		ty = 75243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72206 / 75243 ti = "17/72206/75243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72206/75243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72206 ÷ 217
    72206 ÷ 131072     		x = 0.550888061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75243 ÷ 217
    75243 ÷ 131072     		y = 0.574058532714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550888061523438 × 2 - 1) × π
    0.101776123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31973912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574058532714844 × 2 - 1) × π
    -0.148117065429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.465323484611885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31973912} λ = 0.31973912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.465323484611885))-π/2
    2×atan(0.627931946010133)-π/2
    2×0.560704903304598-π/2
    1.1214098066092-1.57079632675     		φ = -0.44938652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31973912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.319702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44938652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.747951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72206 KachelY 75243 0.31973912 -0.44938652 18.319702 -25.747951
    Oben rechts KachelX + 1 72207 KachelY 75243 0.31978706 -0.44938652 18.322449 -25.747951
    Unten links KachelX 72206 KachelY + 1 75244 0.31973912 -0.44942970 18.319702 -25.750425
    Unten rechts KachelX + 1 72207 KachelY + 1 75244 0.31978706 -0.44942970 18.322449 -25.750425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44938652--0.44942970) × R
    4.3179999999976e-05 × 6371000     		dl = 275.099779999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44938652--0.44942970) × R
    4.3179999999976e-05 × 6371000     		dr = 275.099779999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31973912-0.31978706) × cos(-0.44938652) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900713775546706 × 6371000     		do = 275.101171424685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31973912-0.31978706) × cos(-0.44942970) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900695016751689 × 6371000     		du = 275.095442005835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44938652)-sin(-0.44942970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900713775546706-0.900695016751689)×R²
    abs(0.31978706-0.31973912)×1.87587950166712e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87587950166712e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87587950166712e-05×40589641000000     		ar = 75679.4836674014m²