Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72204 / 78364
↖ ↑ ↗
← S 33.201924°
E 18.314209°		 ← 255.51 m → S 33.201924°
E 18.316955°		 →
↑
255.54 m
↓
↑
255.54 m
↓
S 33.204223°
E 18.314209°		 ← 255.50 m →
65 292 m²		 S 33.204223°
E 18.316955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550876617431641 y=0.597873687744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550876617431641 × 217)
    floor (0.550876617431641 × 131072)
    floor (72204.5)     		tx = 72204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597873687744141 × 217)
    floor (0.597873687744141 × 131072)
    floor (78364.5)     		ty = 78364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72204 / 78364 ti = "17/72204/78364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72204/78364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72204 ÷ 217
    72204 ÷ 131072     		x = 0.550872802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78364 ÷ 217
    78364 ÷ 131072     		y = 0.597869873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550872802734375 × 2 - 1) × π
    0.10174560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31964325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597869873046875 × 2 - 1) × π
    -0.19573974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.61493454832608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31964325} λ = 0.31964325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.61493454832608))-π/2
    2×atan(0.540676282318961)-π/2
    2×0.495656715850205-π/2
    0.991313431700411-1.57079632675     		φ = -0.57948290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31964325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.314209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57948290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.201924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72204 KachelY 78364 0.31964325 -0.57948290 18.314209 -33.201924
    Oben rechts KachelX + 1 72205 KachelY 78364 0.31969118 -0.57948290 18.316955 -33.201924
    Unten links KachelX 72204 KachelY + 1 78365 0.31964325 -0.57952301 18.314209 -33.204223
    Unten rechts KachelX + 1 72205 KachelY + 1 78365 0.31969118 -0.57952301 18.316955 -33.204223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57948290--0.57952301) × R
    4.01099999999266e-05 × 6371000     		dl = 255.540809999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57948290--0.57952301) × R
    4.01099999999266e-05 × 6371000     		dr = 255.540809999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31964325-0.31969118) × cos(-0.57948290) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.836745921248394 × 6371000     		do = 255.510433106786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31964325-0.31969118) × cos(-0.57952301) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.836723956687122 × 6371000     		du = 255.503725963768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57948290)-sin(-0.57952301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836745921248394-0.836723956687122)×R²
    abs(0.31969118-0.31964325)×2.19645612720143e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.19645612720143e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.19645612720143e-05×40589641000000     		ar = 65292.4860737105m²