Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72203 / 78367
↖ ↑ ↗
← S 33.208818°
E 18.311462°		 ← 255.54 m → S 33.208818°
E 18.314209°		 →
↑
255.54 m
↓
↑
255.54 m
↓
S 33.211116°
E 18.311462°		 ← 255.54 m →
65 301 m²		 S 33.211116°
E 18.314209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550868988037109 y=0.597896575927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550868988037109 × 217)
    floor (0.550868988037109 × 131072)
    floor (72203.5)     		tx = 72203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597896575927734 × 217)
    floor (0.597896575927734 × 131072)
    floor (78367.5)     		ty = 78367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72203 / 78367 ti = "17/72203/78367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72203/78367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72203 ÷ 217
    72203 ÷ 131072     		x = 0.550865173339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78367 ÷ 217
    78367 ÷ 131072     		y = 0.597892761230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550865173339844 × 2 - 1) × π
    0.101730346679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.31959531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597892761230469 × 2 - 1) × π
    -0.195785522460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.61507835902494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31959531} λ = 0.31959531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.61507835902494))-π/2
    2×atan(0.540598532875678)-π/2
    2×0.495596551711284-π/2
    0.991193103422569-1.57079632675     		φ = -0.57960322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31959531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.311462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57960322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.208818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72203 KachelY 78367 0.31959531 -0.57960322 18.311462 -33.208818
    Oben rechts KachelX + 1 72204 KachelY 78367 0.31964325 -0.57960322 18.314209 -33.208818
    Unten links KachelX 72203 KachelY + 1 78368 0.31959531 -0.57964333 18.311462 -33.211116
    Unten rechts KachelX + 1 72204 KachelY + 1 78368 0.31964325 -0.57964333 18.314209 -33.211116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57960322--0.57964333) × R
    4.01100000000376e-05 × 6371000     		dl = 255.54081000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57960322--0.57964333) × R
    4.01100000000376e-05 × 6371000     		dr = 255.54081000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31959531-0.31964325) × cos(-0.57960322) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.836680029003138 × 6371000     		do = 255.543617001337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31959531-0.31964325) × cos(-0.57964333) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.836658060403913 × 6371000     		du = 255.536907225662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57960322)-sin(-0.57964333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836680029003138-0.836658060403913)×R²
    abs(0.31964325-0.31959531)×2.19685992253194e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.19685992253194e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.19685992253194e-05×40589641000000     		ar = 65300.965576891m²