Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72200 / 77320
↖ ↑ ↗
← S 30.770159°
E 18.303223°		 ← 262.43 m → S 30.770159°
E 18.305969°		 →
↑
262.42 m
↓
↑
262.42 m
↓
S 30.772519°
E 18.303223°		 ← 262.42 m →
68 866 m²		 S 30.772519°
E 18.305969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550846099853516 y=0.589908599853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550846099853516 × 217)
    floor (0.550846099853516 × 131072)
    floor (72200.5)     		tx = 72200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589908599853516 × 217)
    floor (0.589908599853516 × 131072)
    floor (77320.5)     		ty = 77320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72200 / 77320 ti = "17/72200/77320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72200/77320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72200 ÷ 217
    72200 ÷ 131072     		x = 0.55084228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77320 ÷ 217
    77320 ÷ 131072     		y = 0.58990478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55084228515625 × 2 - 1) × π
    0.1016845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31945150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58990478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1798095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.564888425122742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31945150} λ = 0.31945150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564888425122742))-π/2
    2×atan(0.568423565009029)-π/2
    2×0.516877869437894-π/2
    1.03375573887579-1.57079632675     		φ = -0.53704059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31945150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.303223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53704059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.770159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72200 KachelY 77320 0.31945150 -0.53704059 18.303223 -30.770159
    Oben rechts KachelX + 1 72201 KachelY 77320 0.31949944 -0.53704059 18.305969 -30.770159
    Unten links KachelX 72200 KachelY + 1 77321 0.31945150 -0.53708178 18.303223 -30.772519
    Unten rechts KachelX + 1 72201 KachelY + 1 77321 0.31949944 -0.53708178 18.305969 -30.772519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53704059--0.53708178) × R
    4.11899999999132e-05 × 6371000     		dl = 262.421489999447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53704059--0.53708178) × R
    4.11899999999132e-05 × 6371000     		dr = 262.421489999447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31945150-0.31949944) × cos(-0.53704059) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859226462388219 × 6371000     		do = 262.429878102636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31945150-0.31949944) × cos(-0.53708178) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.859205389043481 × 6371000     		du = 262.423441760725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53704059)-sin(-0.53708178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859226462388219-0.859205389043481)×R²
    abs(0.31949944-0.31945150)×2.10733447384426e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10733447384426e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10733447384426e-05×40589641000000     		ar = 68866.3951246643m²