Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7220 / 9269
↖ ↑ ↗
← N 61.328269°
W100.678711°		 ← 586.13 m → N 61.328269°
W100.667724°		 →
↑
586.20 m
↓
↑
586.20 m
↓
N 61.322997°
W100.678711°		 ← 586.23 m →
343 616 m²		 N 61.322997°
W100.667724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220352172851562 y=0.282882690429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220352172851562 × 215)
    floor (0.220352172851562 × 32768)
    floor (7220.5)     		tx = 7220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282882690429688 × 215)
    floor (0.282882690429688 × 32768)
    floor (9269.5)     		ty = 9269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7220 / 9269 ti = "15/7220/9269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7220/9269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7220 ÷ 215
    7220 ÷ 32768     		x = 0.2203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9269 ÷ 215
    9269 ÷ 32768     		y = 0.282867431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2203369140625 × 2 - 1) × π
    -0.559326171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75717499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282867431640625 × 2 - 1) × π
    0.43426513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.3642841631868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75717499} λ = -1.75717499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3642841631868))-π/2
    2×atan(3.91292103629445)-π/2
    2×1.32058827250401-π/2
    2.64117654500802-1.57079632675     		φ = 1.07038022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75717499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.678711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07038022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.328269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7220 KachelY 9269 -1.75717499 1.07038022 -100.678711 61.328269
    Oben rechts KachelX + 1 7221 KachelY 9269 -1.75698324 1.07038022 -100.667724 61.328269
    Unten links KachelX 7220 KachelY + 1 9270 -1.75717499 1.07028821 -100.678711 61.322997
    Unten rechts KachelX + 1 7221 KachelY + 1 9270 -1.75698324 1.07028821 -100.667724 61.322997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07038022-1.07028821) × R
    9.20100000001423e-05 × 6371000     		dl = 586.195710000906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07038022-1.07028821) × R
    9.20100000001423e-05 × 6371000     		dr = 586.195710000906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75717499--1.75698324) × cos(1.07038022) × R
    0.000191749999999935 × 0.479790665155716 × 6371000     		do = 586.131108337631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75717499--1.75698324) × cos(1.07028821) × R
    0.000191749999999935 × 0.479871391133937 × 6371000     		du = 586.229726361121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07038022)-sin(1.07028821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479790665155716-0.479871391133937)×R²
    abs(-1.75698324--1.75717499)×8.07259782208414e-05×R²
    0.000191749999999935×8.07259782208414e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.07259782208414e-05×40589641000000     		ar = 343616.446179285m²